Lezioni Corso di Analisi Matematica IV per Matematica
02/03/2016, 2 ore. Argomento: Richiami su convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioni. Esempi e significato. Relazione tra converegenza puntuale e uniforme di successioni, e continuita', integrale e derivata. Serie uniformemente convergente di funzioni continue e' continua.
03/03/2016, 2 ore. Argomento: Ancora convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni con significato geometrico. Criterio di Cauchy uniforme, e alcune osservazioni. Serie di funzioni e integrazione e derivazione di serie di funzioni. Criterio di Cauchy uniforme per serie di funzioni. Condizione necessaria perche' una serie di funzioni converga uniformemente (il termine generale tende a 0 uniformemente). Condizione sufficiente data dalla convergenza totale. Esempi.
04/03/2016, 2 ore. Argomento: Esempio di convergenza uniforme ma non totale di serie di funzioni non negative. Esempi di applicazione dei teoremi sulla derivazione e integrazione per successioni e serie di funzioni. Serie di potenze: definizione, raggio di convergenza e calcolo di questo con la formula del reciproco del limsup di radice ennesima di modulo di a_n. Convergenza semplice dentro il "cerchio di convergenza" e totale, quindi uniforme, in ogni suo sottointervallo chiuso. Derivazione delle serie di potenze. Esempi.
09/03/2016, 2 ore. Argomento: La serie di potenze e la serie delle derivate hanno lo stesso raggio di convergenza. Esempi di applicazione della derivazione delle serie di potenze. Integrazione delle serie di potenze. I risultati dati per le serie di potenze centrate in 0 si trasportano alle serie centrate in un punto qualunque. Serie di Taylor. Verifica che alcune delle funzioni abituali (esponenziale, seno e coseno) sono sviluppabili in serie di Taylor. Uso della serie di Taylor per provare il teorema del binomio. Serie di Taylor di (1+x)^a, a non naturale, e problemi nel verificare che questa coincide con la funzione data. Concetto di funzione analitica, ed esempio di funzione con serie di Taylor convergente (in realta' convergente a 0), ma con la funzione diversa dalla sua serie di Taylor. Ogni serie di potenze e' in realta' una serie di Taylor. Esempi di calcolo di serie di Taylor.
10/03/2016, 2 ore. Argomento: Serie di Taylor di logaritmo e arcotangente, e applicazione al calcolo del logaritmo di un numero positivo e di pi greco. Funzioni periodiche. L'insieme dei periodi costistuisce un sottogruppo del gruppo additivo dei numeri reali. Una funzione continua periodica non costante ha un minimo periodo positivo. L'integrale di una funzione periodica su un intervallo lungo quanto il periodo non dipende dall'intervallo stesso. Concetto di prolungamento periodico. Serie di Fourier e coefficienti di Fourier. Introduzione al problema della convergenza delle serie di Fourier.
11/03/2016, 2 ore. Argomento: Lemma su somma di funzioni trigonometriche. Disuguaglianza di Bessel. Interpretazione delle funzioni seno di kx e coseno di kx come elementi ortogonali rispetto a un opporetuno prodotto scalare, e interpertazione in tal senso della disuguaglianza di Bessel. Funzioni continue a tratti e regolari a tratti. Enunciato e dimostrazione del teorema della convergenaa puntuale delle serie di Fourier per funzioni regolari a tartti.
16/03/2016, 2 ore. Argomento: Precisazioni su argomenti della lezione precedente. Serie di Fourier di funzioni pari (soli coseni) e di funzioni dispari (soli seni). Esempi di serie di Fourier, in particolare dei prolungamneti periodici di x e di x^2; applicazioni al calcolo della somma di serie notevoli. Integrazione per parti di funzioni regolari a tratti. Prova che il prodotto di funzioni integrabili secondo Riemann e' integrabile secondo Riemann. Teorema della convergenza uniforme della serie di Fourier per funzioni continue e regolari a tratti, e (senza dimostrazione) di convergenza uniforme negli intervalli chiusi di continuita' per funzioni regolari a tratti. Uguaglianza di Parseval come conseguenza di tali teoremi per funzioni continue e regolari a tratti.
17/03/2016, 2 ore. Argomento: Le serie di Fourier si possono integrare termine a termine per funzioni continue a tratti. Cenno a interpretazione complessa delle serie di Fourier. Equazioni differenziali, equazioni differenziali del primo ordine in forma normale, sistemi differenziali del primo ordine in forma normale. Problema di Cauchy per equazioni differenziali e per sistemi differenziali, relativi teoremi (per ora solo enunciati) di esistenza locale se la funzione e' continua e di esistenza e unicita' locale se la funzione ha ulteriori proprieta' (tipo: ha anche derivate rispetto a y continue); tutto questo per equazioni o sistemi del primo ordine in forma normale. Dimostrazione che nel caso di esistenza e unicita', l'unicita' e' globale. Scrittura equivalente del problema di Cauchy in forma intergrale. Equazioni a variabili separabili, con un esempio che mostra che l'esistenza della soluzione del problema di Cauchy in genere puo' non essere globale.
23/03/2016, 2 ore. Argomento: Integrali di funzioni a valori vettoriali con alcune relative proprieta'. Richiami sul teorema di Ascoli-Arzela'. Dimostrazione del teorema di esistenza per il problema di Cauchy per il caso di funzione continua (teorema di Peano). Si ottiene tale teorema approsimando la soluzione con soluzioni lineari a tratti del problema approssimato, e prendendone un'estratta. Un esempio di non unicita' della soluzione.
24/03/2016, 2 ore. Argomento: Precisazioni sulle funzioni equicontinue. Dimostrazione del teorema di Ascoli-Arzela'. Considerazioni topologiche collegate (ad esempio uno spazio metrico compattto e' sempre separabile). Dimostrazione del teorema di unicita' per il problema di Cauchy per il caso di funzione continua e localmente Lipshitziana nella y uniformemente rispetto a t. Si dimostra anche che tale condizione e' soddisfatta se f e' continua assieme alle derivate parziali rispetto alla y. In caso di unicita' la successione delle approssimanti data nella lezione precedente converge lei stessa (senza passare alle estratte) alla soluzione del problema di Cauchy. Lemma topologico (una successione tale che ogni estratta ha un'estratta che converge a un punto fissato x converge a x).
30/03/2016, 2 ore. Argomento: Precisazione e aggiunte su lezione precedente (tipo ulteriori spiegazioni sul teorema di Ascoli-Arzela'). Uso del teorema di esistenza e unicita' per provare lo sviluppo di Taylor di (1+x)^a, con a reale. Equazioni differenziali di ordine n, e in particolare in forma normale. Come queste ultime si riconducono a un sistema di n equazioni in n incognite in forma normale. Problema di Cauchy per equazioni differenziali di ordine n in forma normale, e relativi teoremi di esistenza locale (quando la funzione e' continua) e di esistenza e unicita' locale quando la funzione ha anche derivate prime continue rispetto alle variabili y; prova che in tali situazioni l'unicita' e' globale. Sistemi di equazioni differenziali lineari di n equzioni in n incognite, omogenee e non omogenee; dimostrazione che nel caso omogeneo le soluzioni formano uno spazio vettoriale di dimensione n. Struttura dell'insieme delle soluzioni nel caso non omogeneo (somma di una soluzione particolare e della soluzione generale dell'omogenea associata). Metodo della varizione delle costanti (inizio).
01/04/2016, 2 ore. Argomento: Metodo della variazione delle costanti per sistemi lineari non omogenei. Equazioni differenziali lineari di ordine n in forma normale. Nel caso omogeneo dimostrazione che l'insieme delle soluzioni forma uno spazio vettoriale di dimensione n. Equazioni differenziali lineari di ordine n in forma normale non omogenee e soluzione col metodo della variazione delle costanti. Qualche esempio al riguardo. Richiamo senza dimostrazione della soluzione di un'equazione diffenziale lineare di ordine n a coefficienti costanti. Funzioni dall'insieme dei numeri reali (in certi casi privato di un punto) a valori complessi; definizione in tale situazione di limiti, continuita', derivate e derivabilita', e prime proprieta'.
06/04/2016, 2 ore. Argomento: Soluzioni di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti omogenea. Quasi tutta la dimostrazione di come e' fatto l'insieme delle soluzioni. Operatore differenziale associato a un polinomio e proprieta' relative. Polinomio caratteristico.
07/04/2016, 2 ore. Argomento: Fine della dimostrazione di come e' fatto l'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti omogenea. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti non omogenee trattate col metodo degli annichilatori. Prolungamento di soluzioni di un problema di Cauchy, e introduzione al concetto di prolungamneto massimale.
13/04/2016, 2 ore. Argomento: Prolungamento di soluzioni di equazioni (o sistemi) differenziali. Soluzione massimale, e intervallo massimale. Casi in cui la soluzione e' prolungabile, in particolare quando la soluzione rimane limitata vicino ad un estremo dell'intervallo dove e' definita.
14/04/2016, 2 ore. Argomento: Casi in cui la soluzione e' prolungabile. Caso della striscia. Soluzioni globali. Lemma di Gronwall. Casi in cui la soluzione e' globale: caso di crescita sublineare, in particolare sistemi lineari, e qualche esempio. Richiami sul fatto che in un'equazione del primo ordine due qualunq soluzioni mantiengono lo stesso ordine (ossia se una e' maggiore dell'altra in un punto dell'intervallo lo e' in tutto lintervallo. I risultati sulla prolungabilita' e sulle soluzioni massimali si trasportano alle equazioni differenziali di ordine n, in particolare le equazioni differenziali lineari di ordine n hanno soluzioni globali.
20/04/2016, 2 ore. Argomento: Dipendenza continua dai dati iniziali. Regolarita' delle soluzioni di un'equazione differenziale. Un esempio di studio qualitativo di un'equazione differenziale ove si trova con considerazioni qualitative quali soluzioni sono globali. Qualche equazione non di tipo noto ma riconducibile a un tipo noto.
21/04/2016, 2 ore. Argomento: Qualche equazione differenziale non di tipo noto ma riconducibile a un tipo noto, in particolare equazione di Bernoulli, equazioni omogenee, equazioni di Eulero. Equazioni con forme esatte, fattore integrante. Equazioni e sistemi autonomi, punti di equilibrio, proprieta' del semigruppo. Un esempio di sistema autonomo in R^2. Cenno ad equazione del calore.
27/04/2016, 2 ore. Argomento: Richiami e precisazioni sui teoremi della funzione implicita e dell'inversione locale. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Esempi di calcolo di minimo e massimo assoluto di funzioni.
04/05/2016, 2 ore. Argomento: Ancora metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Superfici: definizione, esempi (in particolare sfera, toro, superfici di rotazione, superfici cartesinae), piano tangente, vettori normali, area di una superficie.
05/05/2016, 2 ore. Argomento: Ancora area di una superficie, modi diversi di scrivere l'elemento di area. Integrali superficiali. cambio di parametrizzazione, e invarianza di certi oggetti (area, spazio tangente, integrale supoerficiale) per cambio di parametrizzazione. Invarianza dell'area per trasformazioni ortogonali. Qualche esempio.
06/05/2016, 2 ore. Argomento: Qualche calcolo di area di superficie. Dimostrazione di una formula matriciale usata per rappresentare l'elemento di area. Modi diversi di esprimere una superficie (forma parametrica, forma cartesiana, forma implicita), e collegamenti tra questi modi.
11/05/2016, 2 ore. Argomento: Ancora modi diversi di esprimere una superficie (forma parametrica, forma cartesiana, forma implicita), e collegamenti tra questi modi. Concetto di varieta' immersa in R^n. Questioni di massimi e minimi per funzioni di piu' variabili, in particolare esistenza di minimi per funzioni che tendono a +infinito all'infinito. Insiemi regolari e teorema della divergenza (principalmente nel piano): enunciato e inizio di dimostrazione. 18/05/2016, 2 ore. Argomento: Teorema della divergenza nel piano e (senza dimostrazione) nello spazio. Teorema di Green nel piano. Cenno al problema isoperimetrico nel piano. 20/05/2016, 2 ore. Argomento: Problema isoperimetrico nel piano. Rotore. Formula di Stokes. 25/05/2016, 2 ore. Argomento: Formula di Stokes e considerazioni collegate. Sistemi di equazioni lineari a coefficienti costanti. Caso di matrice triangolare, e riduzione ad essa nel caso generale (soprattutto il caso due equazioni e due incognite). 27/05/2016, 2 ore. Argomento: Sistemi di equazioni lineari a coefficienti costanti. Considerazioni collegate con il teorema di Abel sulle serie di potenze e preliminari ad esso. 28/05/2016, 2 ore. Argomento: Teorema di Abel sulle serie di potenze. Un esempio di sistemi di equazioni lineari a coefficienti costanti.
Lezioni di TUTORATO tenute da me
18/03/2016, 2 ore. Argomento: Esercizi su convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioni e questioni collegate (tipo derivazione di una serie di funzioni termine a termine).
31/03/2016, 2 ore. Argomento: Esercizi su successioni e serie di funzioni, serie di potenze e serie di Taylor. Un esempio di una successione di funzioni continue (f_n(x)=sin(nx)) da un intervallo compatto a valori nei reali, equilimitate, che non ha alcuna estratta che converge puntualmente.
28/04/2016, 2 ore. Argomento: Esercizi su equazioni differenziali.
06/05/2016, 2 ore. Argomento: Esercizi dati nella prova di esonero (serie di funzioni, equazioni differenziali, esercizio teorico sulle successsioni di funzioni). Esercizio su massimo e minimo con l'uso del metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
12/05/2016, 2 ore Argomento: Esercizi su problemi di massimo e minimo.
19/05/2016, 2 ore. Argomento: Esercizi su: Teorema di Ascoli-Arzela', equazioni differenziali, problemi di massimo e minimo, integrali superficiali.
20/05/2016, 2 ore. Argomento: Esercizi su problemi di massimo e minimo anche con l'uso dei moltiplicatori di Lagrange.
27/05/2016, 2 ore. Argomento: Esercizi su problemi di massimo e minimo e su problemi legati agli integrali di superficie.
28/05/2016, 2 ore. Argomento: Esercizi su problemi di massimo e minimo e su problemi legati alle formule di Green, di Stokes e della divergenza.
Lezioni di TUTORATO tenute dal tutore
01/04/2016, 2 ore. Argomento: Serie di funzioni, serie di potenze, serie di Fourier. Un esempio di equazione differenziale a variabili separabili, con considerazioni su come invertire le funzioni trigonometriche.
08/04/2016, 2 ore. Argomento: Convergenza di serie di funzioni. Derivazione di serie di funzioni. Calcolo della somma di serie di funzioni. Serie di Taylor di funzioni ottenute da manipolazioni di funzioni elementari.
22/04/2016, 2 ore. Argomento: Esercizi su equazioni differenziali.
26/05/2016, 2 ore. Argomento: Esercizi su formule di Green e della divergenza, integrali di supericie, problemi di massimo e di minimo.