Lezioni Corso di Analisi Matematica 5 2022/23
06/03/2023, 2 ore. Argomento: Introduzione all'argomento, qualche esempio. Introduzione all'equazione di Eulero
09/03/2023, 2 ore. Argomento: Dimostrazione dell'equazione di Eulero. Sufficienza dell'equazione di Eulero per avere un minimo in caso di funzionali convessi. Caratterizzazione delle funzioni convesse in R^N. Funzioni C^1 a tratti (cenno) e funzionali dove la fuznione minimizzante è C^1 a tratti.
13/03/2023, 2 ore. Argomento: Funzioni continue a tratti e C^1 a tratti. Equazione di Eulero in forma integrale nel caso di funzioni C^1 a tratti. Un esempio di minimo C^1 a tratti ma non C^1. Regolarità degli estremali. Equazione di Eulero nel caso autonomo.
16/03/2023, 2 ore. Argomento: Esercizi su minimi ed estremali di funzionali integrali. Uso dell'equazione di Eulero. Casi particolari dove il funzionale dipende solo dalla funzione o solo dalla derivata della funzione.
20/03/2023, 2 ore. Argomento: Condizioni del secondo ordine: dimostrazione della condizione necessaria e cenno alla condizione sufficiente.
23/03/2023, 2 ore. Argomento: Problema della brachistocrona, con soluzione sotto opportune condizioni.
27/03/2023, 2 ore. Argomento: Problema di Wirtinger. Problemi di tipo isoperimetrico. Cenno al problema della curva di minima lunghezza tra due punti in un insieme chiuso di uno spazio euclideo e al teorema di Ascoli-Arzelà.
30/03/2023, 2 ore. Argomento: Problema delle bolle di sapone. Esercizi sul teorema di Ascoli-Arzelà. Precisazione sul problema della brachistocrona.
03/04/2023, 2 ore. Argomento: Lunghezza di una curva, introduzione al problema di curve di minima lunghezza congiungenti due punti in un insieme. Funzioni inferiormente semicontinue. Parametrizzazione opportuna di curve.
06/04/2023, 2 ore. Argomento: Ancora parametrizzazione opportuna di curve. Teorema dell'esistenza di una curva di lunghezza minima congiungente due punti dati in un chiuso di uno spazio euclideo (quando esiste una curva di lunghezza finita che congiunge tali due punti). Esistenza del minimo per funzioni inferiormente semicontinue, o definite su un compatto, o coercive su uno spazio non necessariamente compatto. Funzioni assolutamente continue e a variazione limitata: definioni e alcune proprietà. Relazione tra funzioni a variazione limitata e funzioni monotone.
13/04/2023, 2 ore. Argomento: Funzioni B.V. come differenza di funzioni crescenti. Funzioni A.C. e in particolare relazione tra funzioni A.C. e B.V. Dimostrazione che una funzione crescente è derivabile quasi ovunque (fatta nel dettaglio se la funzione è anche continua).
17/04/2023, 2 ore. Argomento: Problema di Didone. Curve di minima lunghezza congiungenti due dati punti in aperti non convessi. Funzioni A.C. e B.V.: esempi.
20/04/2023, 2 ore. Argomento: Funzioni A.C. e relazione con funzioni integrali di funzioni L^1. Insiemi di funzioni equiintegrabili. Compattezza in A.C. di insiemi di funzioni con derivate equiintegrabili equilimitate nel punto iniziale. Convergenza debole in uno spazio di Hilbert (reale) e in L^1. Ogni successione limitata in uno spazio di Hilbert separabile ha un'estratta che converge debolmente.
27/04/2023, 2 ore. Argomento: Lemmi preliminari al teorema di esistenza del minimo per funzionali del calcolo delle variazioni.
04/05/2023, 2 ore. Argomento: Teorema di esistenza del minimo per funzionali del calcolo delle variazioni.
08/05/2023, 2 ore. Argomento: Equazione di Eulero per funzioni A.C. Le soluzioni A.C. del problema di minimo sono C^1 sotto opportune condizioni.
11/05/2023, 2 ore. Argomento: Fenomeno di Lavrentiev. Esempi di funzioni A.C. (usando anche direttamente la definizione). Superficie in R^3.
15/05/2023, 2 ore. Argomento: Superficie in R^3 e curve di minima lunghezza congiungenti due punti in superficie di R^3. Curve equivalenti a curve date, ma parametrizzate per multiplo di lunghezza d'arco.
18/05/2023, 2 ore. Argomento: Formula integrale della lugnhezza di una curva A.C.. Regolaritè di una curva di minima lunghezza congiungente due punti su una superficie regolare.
22/05/2023, 2 ore. Argomento: Geodetiche sulla sfera e sul cilindro. Spiegazioni sulla densità delle funzioni semplici in L^1.
25/05/2023, 2 ore. Argomento: Funzionali integrali per funzioni assolutamente continue, ed esempio in relazione con le ipotesi del teorema di Tonelli. Dimostrazione di risultati su funzioni A.C. e B.V. precedentemente enunciati (in particolare versione del teorema fondamentale del calcolo integrale nell'ambito delle funzioni A.C.).
29/05/2023, 2 ore. Argomento: Dimostrazione completa della formula fondamentale del calcolo integrale per funzioni A.C.. Un esempio di fuzionale del calcolo delle variazioni.
01/06/2023, 2 ore. Argomento: Esempi ed esercizi.
05/06/2023, 2 ore. Argomento: Esempi ed esercizi.