Lezioni Corso di Analisi Matematica 5 2021/22
07/03/2022, 2 ore. Argomento: Introduzione all'argomento, qualche esempio. Introduzione all'equazione di Eulero
10/03/2022, 2 ore. Argomento: Dimostrazione dell'equazione di Eulero. Sufficienza dell'equazione di Eulero per avere un minimo in caso di funzionali convessi. Caratterizzazione delle funzioni convesse in R^N. Funzioni C^1 a tratti e funzionali dove la fuznione minimizzante è C^1 a tratti
14/03/2022, 2 ore. Argomento: Funzioni continue a tratti e C^1 a tratti. Equazione di Eulero in forma integrale nel caso di funzioni C^1 a tratti. Un esempio di minimo C^1 a tratti ma non C^1. Regolarità degli estremali. Equazione di Eulero nel caso autonomo.
17/03/2022, 2 ore. Argomento: Esercizi su minimi ed estremali di funzionali integrali. Uso dell'equazione di Eulero. Casi particolari dove il funzionale dipende solo dalla funzione o solo dalla derivata della funzione.
21/03/2022, 2 ore. Argomento: Condizioni del secondo ordine: dimostrazione della condizione necessaria e cenno alla condizione sufficiente.
24/03/2022, 2 ore. Argomento: Problema della brachistocrona, con soluzione sotto opportune condizioni. Una ulteriore spiegazione su un problema precedente.
28/03/2022, 2 ore. Argomento: Problema di Wirtinger. Condizione sufficiente del secondo ordine per avere un minimo locale (senza dimostrazione). Problemi di tipo isoperimetrico. Cenno al problema della curva di minima lunghezza tra due punti in un insieme chiuso di uno spazio euclideo.
31/03/2022, 2 ore. Argomento: Problema delle bolle di sapone. Esercizi sul teorema di Ascoli-Arzelà.
04/04/2022, 2 ore. Argomento: Lunghezza di una curva, introduzione al problema di curve di minima lunghezza congiungenti due punti in un insieme. Funzioni inferiormente semicontinue. Parametrizzazione opportuna di curve.
07/04/2022, 2 ore. Argomento: Ancora parametrizzazione opportuna di curve. Teorema dell'esistenza di una curva di lunghezza minima congiungente due punti dati in un chiuso di uno spazio euclideo (quando esiste una curva di lunghezza finita che congiunge tali due punti). Esistenza del minimo per funzioni inferiormente semicontinue, o definite su un compatto, o coercive su uno spazio non necessariamente compatto. Funzioni assolutamente continue e a variazione limitata: definioni e alcune proprietà. Relazione tra funzioni a variazione limitata e funzioni monotone.
11/04/2022, 2 ore. Argomento: Problema di Didone. Curve di minima lunghezza congiungenti due dati punti in aperti non convessi. Funzioni A.C. e B.V.: esempi
14/04/2022, 2 ore. Argomento: Funzioni B.V. come differenza di funzioni crescenti. Funzioni A.C. e relazione con funzioni integrali di funzioni L^1. Insiemi di funzioni equiintegrabili. Compattezza in A.C. di insiemi di funzioni con derivate equiintegrabili equilimitate nel punto iniziale. Convergenza debole in uno spazio di Hilbert (reale) e in L^1. Ogni successione limitata in uno spazio di Hilbert separabile ha un'estratta che converge debolmente.
21/04/2022, 2 ore. Argomento: Lemmi preliminari al teorema di esistenza del minimo per funzionali del calcolo delle variazioni.
28/04/2022, 2 ore. Argomento: Lemmi preliminari al teorema di esistenza del minimo per funzionali del calcolo delle variazioni. Teorema di esistenza del minimo per funzionali del calcolo delle variazioni (quasi finita la dimostrazione).
02/05/2022, 2 ore. Argomento: Teorema di esistenza del minimo per funzionali del calcolo delle variazioni (fine della dimostrazione). Equazione di Eulero per funzioni A.C. Le soluzioni A.C. del problema di minimo sono C^1 sotto opportune condizioni (non finita la dimostrazione).
05/05/2022, 2 ore. Argomento: Le soluzioni A.C. del problema di minimo sono C^1 sotto opportune condizioni (fine della dimostrazione). Lemmi preliminari e inizio della dimostrazione del teorema che afferma che una funzione crescente è derivabile quasi ovunque.
09/05/2022, 2 ore. Argomento: Ogni funzione crescente è derivabile quasi ovunque (fine dimostarzione; il caso di funzione non continua è solo accennato). Fenomeno di Lavrentiev.
12/05/20222, 2 ore. Argomento: Esempi di funzioni A.C. (usando anche direttamente la definizione). Superficie in R^3 e curve di minima lunghezza congiungenti due punti in superficie di R^3.
16/05/2022, 2 ore. Argomento: Curve di minima lunghezza su superficie. Curve equivalenti a curve date, ma parametrizzate per multiplo di lunghezza d'arco. Formula integrale della lugnhezza di una curva A.C..
19/05/2022, 2 ore. Argomento: Regolaritè di una curva di minima lunghezza congiungente due punti su una superficie regolare. Geodetiche su una sfera.
23/05/2022, 2 ore. Argomento: Geodetiche sulla sfera e sul cilindro. Minimi ed estremali di funzionali integrali anche usando i teoremi sui funzionali integrali per funzioni assolutamente continue, ed esempio in relazione con le ipotesi del teorema di Tonelli. Integrale della variazione totale per funzioni a variazione limitata a valori reali.
24/05/2022, 2 ore. Argomento: Dimostrazione di risultati su funzioni A.C. e B.V. precedentemente enunciati.
26/05/2022, 2 ore. Argomento: Dimostrazione completa della formula fondamentale del calcolo integrale per funzioni A.C.. Esercizi di calcolo delle variazioni.
30/05/2022, 2 ore. Argomento: Un esercizio di calcolo delle variazioni. Frattali: definizioni, proprietà geometriche, e cenno all'integrale dell'energia.