Lezioni corso di Analisi I per matematica 2025/26
Lezioni tenute da me
23/09/2025, 2 ore.
Argomento:
Richiami di insiemistica e di insiemi numerici
(naturali, interi, razionali, reali).
Alcune applicazioni dell'algebra elementare
con qualche richiamo di algebra elementare.
Disequazioni di primo grado, equazioni e disequazioni di secondo grado.
Grafici di funzioni, grafici di funzioni della forma ax+b, della funzione x^2, di
polinomi generali di secondo grado con coefficiente di grado 2 uguale a 1.
Interpretazione grafica delle equazioni e delle disequazioni di secondo grado.
24/09/2025, 2 ore.
Argomento:
Proprietà dei numeri reali, definiti assiomaticamente.
Alcune deduzioni dagli assiomi di note proprietà dei numeri reali.
Massimi, minimi, maggioranti e minoranti di un insieme. Insiemi superiormente
limitati e definizione di loro estremo superiore, insiemi inferiormente limitati
e definizione di loro estremo inferiore. Assioma dell'esistenza dell'estremo superiore
ed esistenza dell'estremo inferiore. Qualche esempio collegato con l'estremo superiore.
Definizione di ogni tipo di intervallo (aperto, chiuso e semiaperto),
anche intervalli illimitati.
26/09/2025, 2 ore.
Argomento:
Ancora proprietà di estremo superiore ed estremo inferiore.
Insiemi limitati.
Definizione di estremo superiore di insiemi
superiormente illimitati e di estremo inferiore di insiemi inferiormente illimitati.
Proprietà delle potenze (a esponente naturale,
intero, razionale e reale) con relative definizioni
e qualche esempio. Densità dei razionali e degli irrazionali.
Grafico di funzioni di tipo potenza.
Grafici di funzioni tipo f(x)+c e tipo f(x+c) dedotto dal grafico di f.
Definizione di funzioni pari e dispari.
29/09/2025, 2 ore.
Argomento:
Grafico delle altre funzioni potenza.
Grafico delle funzioni esponenziali.
Definizione di funzioni monotone e strettamente monotone.
Definizione e proprietà del valore assoluto. Grafico della funzione valore assoluto.
Equazioni binomiali tipo x^n=a (cenno).
Disequazioni binomiali (tipo x^n minore di a, o simili) con interpretazione grafica.
Grafico di f(|x|) e |f| dedotti dal grafico di f.
Definizione e grafico del logaritmo.
Principio di induzione e applicazioni,
disuguaglianza di Bernoulli.
Principio del buon ordinamento e questioni collegate..
Funzione parte intera e suo grafico.
01/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Sommatorie: definiione, proprietà e qualche sommatoria notevole.
Teorema del binomio.
Proprietà del logaritmo con dimostrazione.
Definizione, proprietà principali e grafico delle funzioni seno, coseno e tangente.
Grafico delle funzioni cf(x) e f(cx) dedotto dal grafico di f.
03/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Definizione di successione. Esempi. Definizione di limite
(finito o infinito) di una successione, detto anche in modi diversi.
Intorni di un punto e definizione di limite usando gli intorni. Unicità
del limite (con dimostrazione).
Successioni convergenti e divergenti.
Algebra dei limiti quando i limiti sono finiti
(senza dimostrazione), Algebra dei limiti,
per somma e prodotto anche quando il limite può essere +infinito o -infinito.
Forme indeterminate.
Qualche esempio di limite, in particolare limiti di successioni di tipo potenza.
06/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Fine dell'algebra dei limiti. Dimostrazione
di tutti i risultati sull'algebra dei limiti quando i limiti sono finiti,
e, in parte, anche di quelli con limiti infiniti.
Limiti di successioni potenza e di successioni esponenziali.
Definizione di successione inferiormente limitata, superiormente limitata,
limitata. Dimostrazione che una successione convergente è limitata
e considerazioni collegate.
08/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Due successioni uguali definitivamente hanno lo stesso limite (o non hjanno limite).
Teoremi di confronto.
Teorema della permanenza del segno e applicazioni.
Algebra dei limiti in relazione con successioni inferiormente limitate,
superiormente limitate, limitate. Relazione tra divergenza di una successione e illimitatezza.
Confronto tra infiniti. Crietrio del rapporto. Alcuni esempi di limiti di successioni.
10/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Qualche esempio di limite di successione, in particolare
confronto tra infiniti, e limite di radice ennesima di a>0
e di n. Limite di x^n anche per x negativo. Precisazione sul limite del quoziente.
Successioni monotone e loro limite. Definizione di numero "e".
Sottosuccessioni (o successioni estratte). Definizione ed esempi di
punti di accumulazione. Teorema di Bolzano-Weierstrass con inizio della dimostrazione.
15/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Fine della dimostrazione del Teorema di Bolzano-Weierstrass. Se una successione
tende a un limite tutte le sue estratte tendono allo stesso limite.
Un'estratta di un'estratta è un'estratta della successione originaria.
Una successione superiormente illimitata ha un'estratta che tende a + infinito,
una successione inferiormente illimitata ha un'estratta che tende a - infinito,
una successione limitata ha un'estratta convergente.
Cenno al fatto che ogni successione ha un'estratta monotona.
Definizione di successione di Cauchy e dimostrazione che una successione è
convergente se e solo se è di Cauchy.
17/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Liminf e limsup di successioni: definzioni e principali proprietà.
Qualche osservazione su cose precedenti.
22/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Qualche considerazione ed esercizio proposto sui limiti di successioni.
Domini di funzioni. Limiti di funzioni, definiti anche usando gli intorni.
Definizione di funzione continua.
Unicità del limite di funzione. Algebra dei limiti di funzione
anche quando i limiti sono infiniti e forme indeterminate.
Teoremi di confronto per limiti di funzioni. Somma, prodotto, differenza
e quozione (se denominatore diverso da 0) di funzioni continue sono continue.
Qualche semplice esempio di limite di funzioni e di funzioni continue.
I polinomi sono funzioni continue. Cenno al fatto che i limiti dipendono solo
dal comportamento in un intorno del punto.
24/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Qualche considerazione ed esercizio sulle lezioni precedenti.
I limiti dipendono solo
dal comportamento in un intorno del punto.
Limiti dei polinomi a + infinito e a - infinito.
Restrizioni e limiti di restrizioni.
Definizione di limite destro e sinistro, e deduzione dal
risultato sul limite della restrizione che se esiste il limite
in un numero reale, questo coincide col limite destro e sinistro nel punto.
Deduzione dal
risultato sul limite della restrizione che se esiste il limite di una funzione a
+ infinito, allora esiste ed ha lo stesso valore il limite della successione corrispondente.
Il limite di una funzione vale 0 se e solo se il limite del suo modulo vale 0.
Teorema della permanenza del segno e conseguenze.
Funzioni limitate, superiormente limitate ed inferiormente limitate,
e legame coi limiti di funzioni.
Definizione di
massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di
una funzione, e relazione tra questi concetti e valori
della funzione e limiti agli estremi per funzioni monotone su intervalli.
Un'osservazione sul sup e sull'inf di un insieme.
Elenco di limiti notevoli di funzioni, con qualche dimostrazione.
Enunciato del fatto che le funzioni seno, coseno, potenza, esponenziale e logaritmo
sono continue.
29/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Se il limite destro e sinistro coincidono e sono uguali ad un valore, allora esiste il limite
che coincide con tale valore. Qualche esempio di limite di funzione.
Relazione tra il limite di successioni e il corrispondente limite di funzione
all'infinito con la parte intera. Composizione di funzioni e coninuità della compostae
di funzioni continue. Cambio di variabile (o sostituzione) nei limiti. Qualche esempio,
e qualche dimostrazione di limiti notevoli.
31/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Considerazione sulla limitatezza di una funzione vicino
a un punto dove ha limite finito.
Dimostrazione di tutti i limiti notevoli detti in precedenza
e di altri limiti importanti, in gran
parte ottenuti col cambio di variabile nel limiti.
Teorema ponte e qualche esempio collegato.
Dimostrazione che le funzioni seno, coseno, esponenziale,
logaritmo e potenza, sono continue.
03/11/2025, 2 ore.
Argomento:
Continuittà in 0 della funzione x^a per a positivo.
Esempi di cambi di variabile e cambi di variabile standard.
Tipi di discontinuità e eventuali punti di discontinuittà
delle funzioni monotone e questioni collegate.
Esempi di funzione discontinue dappertutto
(funzione di Dirichlet) e discontinua solo sui razionali.
Qualche esempio di calcolo di limite di funzione.
05/11/2025, 2 ore.
Argomento:
Continuità della funzione modulo. Esercizi di ricapitolazione.
17/11/2025, 2 ore.
Argomento:
Precisazioni sulle funzioni continue. Liminf e limsup di funzioni.
Teorema della permanenza del segno, dell'esistenxza degli
zeri e dei valori intermedi per le funzioni
continue, e conseguenze: ad esempio dimostrazione dell' esistenza
della radice ennesima e del logaritmo, e del fatto che un'equazione di grado dispari
ha sempre almeno una soluzione reale. Caratterizzazione degli intervalli,
e interpretazione del teorema dei valori intermedi come il fatto che una funzione continua
manda intervalli in intervalli.
19/11/2025, 2 ore.
Argomento:
Funzione inversa, stretta monotonia
della inversa di una funzione strettamente monotona.
Teorema della continuità della funzione
inversa di una funzione continua e strettamente monotona
su un intervallo. Esempi di funzione inversa.
Funzioni triogonometriche inverse: arcoseno, arcocoseno
e arcotangente. Teorema di Weierstrass sull'esistenza
dei valori estremi di una funzione continua su un
intervallo chiuso [a,b], e generalizzazione
che tale teorema vale se il dominio della funzione continua
è compatto.
21/11/2025, 2 ore.
Argomento:
Topologia della retta reale e in particolare, punti
interni, esterni e di frontiera, insiemi aperti e chiusi,
e loro principali proprietà.
Caratterizzazione degli insiemi chiusi
mediante le successioni.
Dimostrazione che gli insiemi chiusi e limitati sono
compatti ed enunciato che gli
insiemi compatti sono chiusi e limitati.
Funzioni uniformemente continue e qualche semplice
esempio di funzioni continue ma non uniformemente continue.
Teorema di Heine-Cantor.
24/11/2025, 2 ore.
Argomento:
Richiamo dei principali teoremi sulle funzioni continue.
Dimostrazione dell'irrazionalità di radice quadrata di 2 e
questioni collegate. Principali proprietà
dei numeri primi, in particolare dimostrazione che sono infiniti,
ed enunciato dell'esistenza ed unicità della decomposizione
di un numero intero positivo in un prodotto di primi, con dimostrazione
dell'esistenza.
Definizione di derivata e sua interpretazione meccanica e geometrica.
Notazioni per la derivata. Rapporto incrementale. Scrittura in
diverse forme del limite definente la derivata.
Relazione tra derivabilità e
continuità. Derivata
delle principali funzioni. Regole di derivazione della somma,
della differenza, del prodotto, del quoziente.
Esempi di applicazioni delle regole di derivazione
(derivata dei polinomi e della funzione tangente).
Continuità e non derivabilità
della funzione modulo. Qualche altro esempio di funzione
continua ma non derivabile.
26/11/2025, 2 ore.
Argomento:
Regola di derivazione della funzione composta
e regola di derivazione della funzione inversa.
Qualche esempio, e, in particolare,
dimostrazione delle formule della derivata
di tutte le principali funzioni
non dimostrate in precedenza,
in particolare delle formule della derivata
delle funzioni trigonometriche
inverse. Esempio di funzione continua
dove non esiste il limite destro del rapporto
incrementale, ed esempio di funzione derivabile
ma con derivata discontinua, e questioni collegate.
Cenno al principio di Fermat sull'annullamento della
derivata nei punti interni di massimo e di minimo.
28/11/2025, 2 ore.
Argomento:
Punti interni di un intervallo. Derivata in punti
interni di massimo e di minimo di funzioni.
Estremi relativi e derivata in punti di estremo relativo.
Teorema di Rolle e
teorema di Lagrange con interpretazione geometrica
e meccanica.
Teorema di Cauchy.
Monotonia di funzioni e relazione col segno
del rapporto incrementale.
Conseguenze del teorema di Lagrange,
in particolare relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata e
relazione tra costanza di una funzione e annullamento della sua derivata.
Applicazioni allo studio del grafico di una funzione con esempi.
Formula di L'Hopital in un caso.
03/12/2025, 2 ore.
Argomento:
Calcolo di alcune derivate. Formule i L'Hopital
in generale e applicazioni. Relazione tra derivata
in un punto e limite delle derivate in quel punto.
Esempio di funzione continua in
cui non esiste il limite destro del rapporto elementare,
ed esempio di funzione derivabile ma con derivata
discontinua. Definizione di funzione convessa.
05/12/2025, 2 ore.
Argomento:
Precisazione su una dimostrazione su
una formula di L'Hopital. Calcolo della derivata di x^x.
Funzioni convesse e formulazioni equivalenti
che usano la monotonia del rapporto incrementale.
Dimostrazione che una funzione derivabile è convessa
se e solo se la derivata è crescente e anche se
e solo se il suo grafico si trova sopra la
retta tangente.
Se una funzione è derivabile due volte questa è
convessa se e solo se la derivata seconda è non negativa.
Funzioni concave e (accennato)
il fatto che le funzioni concave soddisfano
proprietà simili alle funzioni convesse invertendo
le disuguaglianze. Funzioni di classe C^n e di classe C infinito.
Un lemma preliminare alla formula di Taylor.
10/12/2025, 2 ore.
Argomento:
Ulteriore precisazione su una formula di L'Hopital.
Proprietà di funzioni che in un
punto hanno le derivate nulle dei primi n ordini.
Formula di Taylor sia col resto di Peano sia col resto di Lagrange.
Polinomio di Taylor.
Polinomi di Taylor delle funzioni x^n, e^x, sin(x).
Applicazioni: dimostrazione del teorema del binomio, calcolo del numero
"e" e di sin(1)
con l'approssimazione voluta.
12/12/2025, 2 ore.
Argomento:
Richiami sulla formula di Taylor.
Polinomi di Taylor delle principali funzioni:
e^x, sin, cos, ln(1+x), (1+x)^a. Il polinomio
di Taylor di ordine n in x_0 è l'unico polinomio
di grado minore o uguale a n che approssima la funzione con un "o
piccolo" di (x-x_0)^n. Polinomi di Taylor di funzioni collegate
a quelle principali tipo e^(x^2).
Un punto in cui la derivata è nulla è
di minimo relativo, massimo relativo
o nessuno dei due a seconda della parità
del primo ordine della derivata che non si annulla
e del segno di questa.
Qualche esempio di calcolo di limiti
usando la formula di Taylor. Dimostrazione del fatto che
il numero "e" è irrazionale.
17/12/2025, 2 ore.
Argomento:
Successioni definite per ricorrenza. Successione di
Fibonacci. Asintoti di una funzione. Qualche esercizio,
tra cui disuguaglianza triangolare
inversa.
19/12/2025, 2 ore.
Argomento:
Esercizi di ricapitolazione.
Lezioni tenute da Emanuele Callegari
25/09/2025, 2 ore.
Argomento:
Disequazioni e sistemi di disequazioni. Estremo superiore, estremo
inferiore, massimo e minimo di insiemi.
02/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su insiemistica e su estremo superiore ed estremo
inferiore.
09/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su funzioni periodiche e su limiti di successioni.
13/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su limiti di successioni.
16/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su limiti di successioni e disuguaglianze.
20/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su limiti di successioni.
23/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su limiti, liminf e limsup di successioni.
27/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su liminf e limsup di successioni e cose collegate.
30/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su liminf e limsup di successioni e cose collegate.
06/11/2025, 2 ore.
Argomento:
Disequazione e limiti di funzioni.
07/11/2025, 2 ore.
Argomento:
Limiti di funzioni e punti di continuità di funzioni.
20/11/2025, 2 ore.
Argomento:
Applicazioni dei principali teoremi sulle
funzioni continue. Esempi di funzioni inverse.
27/11/2025, 2 ore.
Argomento:
Esempi di funzioni continue che sono o
non sono uniformemente continue.
01/12/2025, 2 ore.
Argomento:
Esercizi sulla continuità uniforme.
04/12/2025, 2 ore.
Argomento:
Esercizi sul calcolo di derivate di funzioni
anche non combinazioni dirette di funzioni elementari.
Proprietà dei valori intermedi della derivata,
anche quando non è continua.
11/12/2025, 2 ore.
Argomento:
Calcolo di derivate e di derivate di ordine n.
15/12/2025, 2 ore.
Argomento:
Calcolo di limiti di funzioni
usando la formula di Taylor.