Lezioni corso di Analisi I per matematica 2025/26
Lezioni tenute da me
23/09/2025, 2 ore.
Argomento:
Richiami di insiemistica e di insiemi numerici
(naturali, interi, razionali, reali).
Alcune applicazioni dell'algebra elementare
con qualche richiamo di algebra elementare.
Disequazioni di primo grado, equazioni e disequazioni di secondo grado.
Grafici di funzioni, grafici di funzioni della forma ax+b, della funzione x^2, di
polinomi generali di secondo grado con coefficiente di grado 2 uguale a 1.
Interpretazione grafica delle equazioni e delle disequazioni di secondo grado.
24/09/2025, 2 ore.
Argomento:
Proprietà dei numeri reali, definiti assiomaticamente.
Alcune deduzioni dagli assiomi di note proprietà dei numeri reali.
Massimi, minimi, maggioranti e minoranti di un insieme. Insiemi superiormente
limitati e definizione di loro estremo superiore, insiemi inferiormente limitati
e definizione di loro estremo inferiore. Assioma dell'esistenza dell'estremo superiore
ed esistenza dell'estremo inferiore. Qualche esempio collegato con l'estremo superiore.
Definizione di ogni tipo di intervallo (aperto, chiuso e semiaperto),
anche intervalli illimitati.
26/09/2025, 2 ore.
Argomento:
Ancora proprietà di estremo superiore ed estremo inferiore.
Insiemi limitati.
Definizione di estremo superiore di insiemi
superiormente illimitati e di estremo inferiore di insiemi inferiormente illimitati.
Proprietà delle potenze (a esponente naturale, intero, razionale e reale) con relative definizioni
e qualche esempio. Densità dei razionali e degli irrazionali.
Grafico di funzioni di tipo potenza.
Grafici di funzioni tipo f(x)+c e tipo f(x+c) dedotto dal grafico di f.
Definizione di funzioni pari e dispari.
29/09/2025, 2 ore.
Argomento:
Grafico delle altre funzioni potenza.
Grafico delle funzioni esponenziali.
Definizione di funzioni monotone e strettamente monotone.
Definizione e proprietà del valore assoluto. Grafico della funzione valore assoluto.
Equazioni binomiali tipo x^n=a (cenno).
Disequazioni binomiali (tipo x^n minore di a, o simili) con interpretazione grafica.
Grafico di f(|x|) e |f| dedotti dal grafico di f.
Definizione e grafico del logaritmo.
Principio di induzione e applicazioni,
disuguaglianza di Bernoulli.
Principio del buon ordinamento e questioni collegate..
Funzione parte intera e suo grafico.
01/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Sommatorie: definiione, prprietà e qualche sommatoria notevole.
Teorema del binomio.
Proprietà del logaritmo con dimostrazione.
Definizione, proprietà principali e grafico delle funzioni seno, coseno e tangente.
Grafico delle funzioni cf(x) e f(cx) dedotto dal grafico di f.
03/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Definizione di successione. Esempi. Definizione di limite
(finito o infinito) di una successione, detto anche in modi diversi.
Intorni di un punto e definizione di limite usando gli intorni. Unicità
del limite (con dimostrazione).
Successioni convergenti e divergenti.
Algebra dei limiti quando i limiti sono finiti
(senza dimostrazione), Algebra dei limiti,
per somma e prodotto anche quando il limite può essere +infinito o -infinito.
Forme indeterminate.
Qualche esempio di limite, in particolare limiti di successioni di tipo potenza.
06/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Fine dell'algebra dei limiti. Dimostrazione
di tutti i risultati sull'algebra dei limiti quando i limiti sono finiti,
e, in parte, anche di quelli con limiti infiniti.
Limiti di successioni potenza e di successioni esponenziali.
Definizione di successione inferiormente limitata, superiormente limitata,
limitata. Dimostrazione che una successione convergente è limitata
e considerazioni collegate.
08/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Due successioni uguali definitivamente hanno lo stesso limite (o non hjanno limite).
Teoremi di confronto.
Teorema della permanenza del segno e applicazioni.
Algebra dei limiti in relazione con successioni inferiormente limitate,
superiormente limitate, limitate. Relazione tra divergenza di una successione e illimitatezza.
Confronto tra infiniti. Crietrio del rapporto. Alcuni esempi di limiti di successioni.
10/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Qualche esempio di limite di successione, in particolare
confronto tra infiniti, e limite di radice ennesima di a>0
e di n. Limite di x^n anche per x negativo. Precisazione sul limite del quoziente.
Successioni monotone e loro limite. Definizione di numero "e".
Sottosuccessioni (o successioni estratte). Definizione ed esempi di
punti di accumulazione. Teorema di Bolzano-Weierstrass con inizio della dimostrazione.
Lezioni tenute da Emanuele Callegari
25/09/2025, 2 ore.
Argomento:
Disequazioni e sistemi di disequazioni. Estremo superiore, estremo
inferiore, massimo e minimo di insiemi.
02/10/2025, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su insiemistica e su estremo superiore ed estremo
inferiore.