Lezioni corso di Analisi I per Ingegneria edile e dell'edilizia. 2024/25
Lezioni tenute da me
23/09/2024, 2 ore.
Argomento:
Richiami di insiemistica e di insiemi numerici
(naturali, interi, razionali, reali).
Alcune considerazioni di algebra elementare.
Disequazioni.
25/09/2024, 2 ore.
Argomento:
Disequazioni di secondo grado. Disequazioni con un esempio.
Proprietà dei numeri reali, definiti assiomaticamente.
Alcune deduzioni dagli assiomi di note proprietà dei numeri reali.
26/09/2024, 2 ore.
Argomento:
Ancora deduzioni dagli assiomi di note proprietà dei numeri reali.
Massimi, minimi, maggioranti e minoranti di un insieme. Insiemi superiormente
limitati e definizione di loro estremo superiore, insiemi inferiormente limitati
e definizione di loro estremo inferiore. Assioma dell'esistenza dell'estremo superiore.
Definizione di ogni tipo di intervallo (aperto, chiuso e semiaperto),
anche intervalli illimitati.
02/10/2024, 2 ore.
Argomento:
Ancora proprietà di estremo superiore ed estremo inferiore.
Insiemi limitati e finiti. Distinzione tra insiemi
finiti e insiemi limitati. Gli insiemi finiti (non vuoti) hanno massimo e minimo.
Definizione di estremo superiore di insiemi
superiormente illimitati e di estremo inferiore di insiemi inferiormente illimitati.
Cenno ad una disequazione.
Proprietà delle potenze (a esponente naturale, intero, razionale e reale) con relative definizioni.
Grafici di funzioni: definizione e grafici delle funzioni della forma ax+b.
03/10/2024, 2 ore.
Argomento:
Grafico delle funzioni potenza.
Grafici di funzioni tipo f(x)+c e tipo f(x+c) dedotto dal grafico di f.
Grafico di polinomi di secondo grado con coefficiente direttivo uguale a 1,
e interpretazione grafica di equazioni e disequazioni
di secondo grado. Definizione di funzioni pari, dispari, monotone.
Definizione e molte proprietà del valore assoluto. Grafico della funzione valore assoluto.
Qualche esempio sulle proprietà delle potenze.
09/10/2024, 2 ore.
Argomento:
Altre proprietà del valore assoluto.
Equazioni binomiali (tipo x^n=a) e considerazioni collegate.
Disequazioni binomiali (tipo x^n minore di a, o simili) con interpretazione grafica.
Grafici delle funzioni esponenziali. Grafico di f(|x|) e |f| dedotti dal grafico di f.
Grafico di f(ax) e di af dedotti dal grafico di f.
Definizione e grafico del logaritmo. Proprietà del logaritmo.
10/10/2024, 2 ore.
Argomento:
Ancora proprietà e grafico del logaritmo.
Densità dei razionali e degli irrazionali.
Funzione parte intera e suo grafico. Principio del buon ordinamento.
Principio di induzione e applicazioni,
disuguaglianza di Bernoulli. Sommatorie:
definizioni, proprietà, alcune sommatorie notevoli, es.
somma dei primi n naturali e somma di una progressione geometrica.
16/10/2024, 2 ore.
Argomento:
Definizione di successione. Esempi. Definizione di limite
(finito o infinito) di una successione, detto anche in modi diversi. Unicità
del limite (con dimostrazione). Algebra dei limiti, forma indeterminata per la somma.
Qualche esempio di limite, in particolare limiti di successioni di tipo potenza.
17/10/2024, 2 ore.
Argomento:
Algebra dei limiti, anche quando il limite può essere +infinito o -infinito.
Forme indeterminate. Teoremi di confronto. Qualche esempio.
Limiti di successioni di tipo potenza e di tipo esponenziale.
Confronto tra di loro usando il criterio del rapporto, che viene enunciato
con idea dell'argomento di dimostrazione.
23/10/2024, 2 ore.
Argomento:
Successioni superiormente limitate, inferiormente limitate, limitate.
Relazione tra convergenza e divergenza di una successione e sua limitatezza.
Certe propriettà
delle successioni riguardanti il limite dipendono solo dal comportamento della successione definitivamente.
Fattoriale e confronto con l'esponenziale.
Relazione tra limite di una successione e del suo modulo. Teorema della permanenza del segno e conseguenze.
24/10/2024, 2 ore.
Argomento:
Limiti di successioni monotone; numero "e".
Dimostrazione che il limite della somma è uguale alla somma dei
limiti e che il limite del prodotto è uguale al
prodotto dei limiti.
Dimostrazione del criterio del "rapporto" per limiti di successioni.
Successioni che partono da un numero naturale diverso da 1.
Limiti di successioni esponenziali con base negativa.
30/10/2024, 2 ore.
Argomento:
Alcuni limiti notevoli di successioni, e richiami su quelli
visti in precedenza. Qualche esempio di limite di successioni.
Definizione di intorno
di un punto e definizione di limite di
successione usando gli intorni.
Definizione di sottosuccesione (o estratta di una successione).
Relazione tra limite di una successione e di una sua estratta. Ogni successione ha un'estratta
monotona e quindi che ha limite.
Se la successione è limitata ha un'estratta convergente,
se la successione è superiormente illimitata ha
un'estratta divergente positivamente, se invece è inferiormente
illimitata ha un'estratta divergente negativamente.
31/10/2024, 2 ore.
Argomento:
Qualche richiamo sui limiti di successioni.
Domini di funzioni con esempi.
Definizione di limite di funzione in tutti i casi, con interpretazione geometrica.
Definizione di limite di funzione usando gli intorni. Unicità del
limite di funzione.
Algebra dei limiti di funzione. Forme indeterminate.
Definizione di funzione continua con interpretazione geometrica.
06/11/2024, 2 ore.
Argomento:
Richiami su disequazioni e limiti di successioni,
con un ulteriore precisazione.
Continuità della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni continue.
Continuità delle funzioni costanti,
dei polinomi e (solo enunciato) di funzioni abituali (esponenziali,
potenze, logaritmi, seno e coseno). Richiami sui polinomi.
Dipendenza di limiti solo dai valori vicini al punto in cui si fa il limite.
Qualche esempio di limite di funzione e di funzione continua.
Teoremi di confronto per limiti di funzioni. Cenno sul
teorema della permanenza del segno per limiti di funzioni.
07/11/2024, 2 ore.
Argomento:
Richiami sull'algebra dei limiti di funzioni.
Definizione di
funzione inferiormente limitata,
superiormente limitata e limitata.
Teorema della permanenza del segno per limiti di funzioni e
funzioni continue. Conseguenze del teorema della permanenza del segno
per limiti di funzioni (ossia la disuguaglianza larga "passa al limite").
Definizione di massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore
di una funzione, e studio di questi concetti nel caso di funzioni monotone
su intervalli in relazione ai valori agli estremi dell'intervallo,
o al limite agli estremi dell'intervallo. Funzioni composte con esempi.
Continuità della
composizione di funzioni continue (con dimostrazione).
Qualche esempio di funzione continua
e di funzione discontinua, e di applicazione dei teoremi dati.
Relazione tra convergenza o divergenza di una funzione in un punto e limitatezza,
superiore limitatezza, inferiore limitatezza. Precisazione su limite
del quoziente anche se il denominatore si annulla.
13/11/2024, 2 ore.
Argomento:
Ulteriore spiegazione sulla
continuità della composizione di funzioni continue.
Richiami sui limiti di restrizioni di funzioni,
relazione tra limite della funzione f(x) per x che tende
a +infinito e limite della successione f(n) per n che tende
a +infinito. Limite destro e sinistro, e relazione
tra limite destro e sinistro e limite, con qualche esempio.
Elenco di limiti di funzioni notevoli sia a +infinito sia a 0,
alcuni dei quali dimostrati.
Relazione tra limite di funzione e del suo modulo.
Uso di funzioni inferiormente limitate, superiormente limitate
e limitate per i limiti di funzione.
14/11/2024, 2 ore.
Argomento:
Cambio di variabili (o sostituzione) nei limiti
(enunciato preciso e idea di dimostrazione).
Dimostrazione di tutti i principali limiti notevoli,
e della continuità delle funzioni trigonometriche. Altri
esempi di calcolo di limiti di funzioni,
in particolare limiti che usano il cambio di variabile.
20/11/2024, 2 ore.
Argomento:
Teorema "ponte" e applicazioni.
Teorema dell'esistenza degli zeri e applicazioni.
Esempi di limiti di funzione e di funzioni continue.
21/11/2024, 2 ore.
Argomento:
Dimostrazione del teorema dell'esistenza degli zeri.
Teorema dei valori intermedi. Concetto di intervallo
e sua caratterizzazione (insieme tale che,
dati due elementi degli insieme, tutti gli elementi
compresi tra i due appartengono all'insieme).
Concetto di funzione inversa. L'inversa di una funzione
continua e strettamente monotona à continua
strettamente monotona (dello stesso tipo di monotonia
della funzione data). Esempi di funzione inversa:
radici di indice pari e dispari, logaritmo naturale,
arcotangente, arcoseno, arcocoseno. Grafico
di tangente e di arcotangente.
Cenno al teorema di Weierstrass sui valori estremi.
27/11/2024, 2 ore.
Argomento:
Ordini di infinito. Richiami sui teoremi sulle funzioni continue.
Proprietaà di estremo superiore e estremo inferiore.
Teorema di Weierstrass sui valori estremi
delle funzioni continue.
Serie di numeri reali: introduzione, definizioni fondamentali, esempi, serie geometrica.
Se una serie converge il suo termine generale tende a 0.
Serie a termini non negativi.
28/11/2024, 2 ore.
Argomento:
Relazione tra convergenza di una serie e
convergenza a 0 del termine generale della serie.
Serie armonica e armonica generalizzata. Effetto del
cambiamento dei primi termini su una serie. Linearità
della somma di una serie. Spezzamento di una serie in una
somma di un numero finito di termini e di un'altra serie.
Criteri del confronto e del confronto asintotico. Esempi.
04/12/2024, 2 ore.
Argomento:
Criteri del rapporto e della radice per serie a termini non negativi.
Serie a segno alterno e criterio di Leibniz.
Criterio della convergenza assoluta.
Esempi. Considerazioni sulla serie armonica generalizzata.
05/12/2024, 2 ore.
Argomento:
Definizione di derivata e sua interpretazione meccanica e geometrica.
Notazioni per la derivata. Rapporto incrementale. Scrittura in
diverse forme del limite definente la derivata.
Relazione tra derivabilità e
continuità. Derivata
delle principali funzioni. Regole di derivazione della somma,
della differenza, del prodotto, del quoziente.
Esempi di applicazioni delle regole di derivazione
(ad esempio derivata dei polinomi e della funzione tangente).
Continuità e non derivabilità
della funzione modulo.
11/12/2024, 2 ore.
Argomento:
Derivata della funzione composta e della funzione inversa.
Esempi e applicazioni, in particolare dimostrazione
della formula della derivata di funzioni inverse note (radici,
funzioni trigonometriche inverse).
Qualche esempio di calcolo di derivate.
Punti interni ad un insieme. Derivata in punti di massimo
e di minimo di funzioni. Teorema di Rolle con dimostrazione.
Teorema di Lagrange (senza dimostrazione) con interpretazione geometrica
e meccanica.
12/12/2024, 2 ore.
Argomento:
Dimostrazione del teorema di Lagrange.
Esempi di derivate.
Estremi relativi e derivata in punti di estremo relativo.
Teorema di Cauchy
(cenno di dimostrazione).
Monotonia di funzioni e relazione col segno
del rapporto incrementale. Relazione tra monotonia di una
funzione e segno della sua derivata. Conseguenze del teorema di Lagrange,
in particolare relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata e
relazione tra costanza di una funzione e annullamento della sua derivata.
Applicazioni allo studio del grafico di una funzione con esempio.
Formula di L'Hopital in un caso.
18/12/2024, 2 ore.
Argomento:
Formula di L'Hopital in tutti i casi esnza dimostrazione.
Derivate di ordine superiore al primo e
modi diversi di denotarle. Significato fisico della derivata seconda.
Funzioni di classe C^n, con n naturale o infinito.
Funzioni convesse e concave:
definizioni principali per funzioni
di classe C^1. Punti di flesso.
Formula di Taylor ad ogni ordine (dimostrazione
solo per i primi due ordini). "o piccolo".
Cenno ad uso per il calcolo dei limiti di funzione.
Teorema del binomio
e interpretazione col triangolo di Pascal-Tartaglia
(non dimostrata ma si è detto che si può
dimostrare per induzione).
19/12/2024, 2 ore.
Argomento:
Integrale di Riemann: motivazione e definizione
con formulazione equivalente. Suddivisioni di un intervallo con
proprietà relative.
Le funzioni continue sono integrabili (senza dimostrazione).
Alcune proprietà
dell'estremo superiore ed estremo inferiore.
Integrale di una costante.
08/01/2025, 2 ore.
Argomento:
Qualche considerazione ulteriore sulle derivate (derivata di f elevata a g).
Proprietà
dell'integrale definito (con poche dimostrazioni):
ad esempio
linearità,
monotonia, spezzamento dell'integrale sugli intervalli,
integrale del modulo e modulo dell'integrale.
Interpretazione geometrica dell'integrale anche per funzioni non positive.
Integrale definito quando l'ordine degli estremi di integrazione è arbitrario.
Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Primitive ed esempio di calcolo di un integrale
usando le primitive.
09/01/2025, 2 ore.
Argomento:
Integrale indefinito. Calcolo di integrali indefiniti (o primitive)
usando la linearità, l'integrazione per sostituzione e per parti. Diversi esempi.
15/01/2025, 2 ore.
Argomento:
Esempi di calcolo di integrali indefiniti,
in particolare integrazione delle funzioni razionali
con denominatore di primo o secondo grado.
Integrali impropri: definizioni e qualche esempio.
Cenno ai numeri primi.
Lezioni tenute da Roberta Ghezzi
30/09/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su richiami di algebra elementare,
insiemistica, numeri razionali, proprietà
delle potenze e disequazioni.
07/10/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su proprietà
delle potenze e polinomi.
Angoli in radianti e funzioni trigonometriche seno,
coseno e tangente, loro principali
proprietà e grafico del seno e del coseno.
14/10/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi
su disequazioni a volte anche con interpretazione grafica.
21/10/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi
su disequazioni di vario tipo e su grafici di funzioni.
28/10/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi
su principio di induzione. Esercizi, anche teorici, su limiti di successioni.
04/11/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizio
su principio di induzione. Esercizi su limiti di successioni.
11/11/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su limiti di successioni e su limiti di funzioni.
18/11/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su limiti di funzioni.
25/11/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su limiti di funzioni
e continuità di funzioni.
02/12/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su limiti di funzioni
e serie.
09/12/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi sulle
serie numeriche.
16/12/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su studio di funzioni e applicazioni.
07/01/2025, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su studio di funzioni e applicazioni.
13/01/2025, 2 ore.
Argomento:
Studi di funzione. Calcolo di integrali.
Calcolo della derivata della funzione inversa.
16/01/2025, 2 ore.
Argomento:
Calcolo di integrali. Studio di funzione.
Lezioni di TUTORAT0 tenute dal tutore.
14/10/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi
su disequazioni e grafici di funzioni.
21/10/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi
su disequazioni e su grafici di funzioni.
28/10/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi
su equazioni collegate coi grafici di funzioni.
Esercizi su limiti di successioni.
04/11/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi
su equazioni collegate coi grafici di funzioni.
Esercizi su limiti di successioni.
11/11/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su limiti di successioni e su limiti di funzioni.
18/11/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su limiti di funzioni.
25/11/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su limiti di funzioni
e su disequazioni.
02/12/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su limiti di funzioni.
Serie numeriche.
16/12/2024, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su
serie numeriche.
13/01/2025, 2 ore.
Argomento:
Calcolo di derivate.