Prof. Giuseppe Pareschi


Dipartimento di Matematica

Viale della Ricerca Scientifica 1, 00133, Roma, IT

Stanza: 1105

Telefono: 06 72594687

pareschi@mat.uniroma2.it





CORSO di GEOMETRIA ALGEBRICA - LAUREA MAGISTRALE IN MATEMATICA (SECONDO SEMESTRE)

ORARIO (c'e' un cambio rispetto all'orario che avevo pubblicato in precedenza))

LU 11.20-13.10 Aula D'Antoni
MA 10.40-12.30 Biblioteca Storica
GIO 10.40-12.30 Biblioteca Storica

Sempre in bibioteca storica.
IMPORTANTE: In caso di sovrapposizioni con l'orario di altri corsi, gli studenti interessati sono pregati di farmelo sapere

AVVISI
- Gli studenti che intendono frequentare sono consigliati di iscriversi al corso sul sito Delphi e al Team del corso sulla piattaforma MS Teams. Questo non e' in nessun modo vincolante, e non ha a che fare con la possibilita' di sostenere gli esami o meno. Semplicemente, iscrivendosi al corso, gli studenti potranno, eventualmente, ricevere in tempo reale comunicazioni dal docente.
- Il corso avverra' in modalita' mista (in presenza + streaming su teams). L'orario verra' comunicato a breve.
- Codice del corso su teams: ap1tla3
- Prima lezione: lunedi 8 marzo ore 11.20 Aula D'Antoni

Libri di testo

Il libro di e':
James Milne, Elliptic curves file pdf .

Altri utili libri di riferimento, al livello di studenti della laurea magistrale (si trovano tutti in biblioteca):

Curve ellittiche:
J.W.S. Cassels, Lectures on Elliptic Curves, London Mathematical Society, 1991
Antony W. Knapp, Elliptic curves, Princeton University Press, 1992
Joseph Silverman, John Tate, Rational points on elliptic curves, Springer-verlag, 1992
Neil Koblitz, Introduction to elliptic curves and Modular Forms, Second Edition, Springer, 1993

Geometria Algebrica:
William Fulton, Algebraic curves, An introduction to Algebraic Geometry, pdf

Superfici di Riemann:
William Fulton, Algebraic Topology, a first course, Spinger-Verlag, 1995 (Parte X: Riemann Surfaces)

Alcuni risultati di teoria dei numeri:
Z.I. Borevich, I.R. Shafarevich, Numer Theory, Academic Press, 1966, Capitolo 1
Jean-Pierre Serre, A cours in arithmetic, Springer-Verlag, 1973, Parte 1.

So vari argomenti di base come teoria dei campi, geometria algebrica ecc. possono risultare molto utili le note dei corsi Milne qui , (ad esempio FT sta per Field Theory e AG per Algebraic Geometry).

Programma

Si tratta di un corso di introduzione alla Geometria Algebrica (con enfasi sugli aspetti aritmetici) basata sulle curve ellittiche (wikipedia). Dopo le rette e le coniche, studiate nel primo anno di laurea triennale, vengono le curve ellittiche. Infatti esse sono, in prima approssimazione, le curve definite da un'equazione polinomiale di grado 3 nel piano su un dato campo di scalari K. La particolarita' delle curve ellittiche e' che su di esse e' definita, in modo geometrico, un'operazione che le rende dei gruppi (commutativi). Sempre in prima approssimazione, l'operazione e' definita in questo modo: dati due punti P e Q sulla curva, la retta per P e Q interseca la curva in un unico terzo punto (qua di usa il grado 3), che si definisce essere la somma di P+Q (in realta' non e' esattaamente cosi', comunque e' una cosa molto simile).

Una stessa equazione di grado 3, diciamo E, definisce vari gruppi E(K), a seconda del campo di scalari K. Quando K e' il campo dei numeri complessi, questi gruppi possono essere costruiti anche in un altro modo, tramite l'analisi complessa. Lo studio di questi gruppi, in funzione dei vari campi di scalari (numeri razionali, reali, complessi, estensioni finite dei razionali,numeri p-adici (questi verranno introdotti durante il corso), campi di funzioni razionali..) e delle relazioni tra essi apre problemi molto profondi, molti di essi irrisolti (tra cui la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer ), in cui si intrecciano aspetti geometrici e aritmetici.

La dimostrazione del Teorema di Fermat (ottenuta dal matematico inglese Andrew Wiles nel 1994) si basa sulla dimostrazione di un'altra famosa congettura sulla curve ellittiche: la congettura di modularita' di Shimura, Taniyama e Weil.

Le curve ellittiche hanno anche importante applicazioni pratiche, specialmente agli algoritmi di fattorizzazione di numeri interi ( vedi qui ) e alla crittografia.

Il programma del corso e' di introdurre tutti questi aspetti, sorvolando su alcune dimostrazioni. Oltre alla congettura di Birch-Swinnerton Dyer e al teorema di Fermat, incontreremo tangenzialmente altri due tra i piu' importanti teoremi del secolo scorso: le congetture di Weil (dimostrate da P. Deligne nel 1974, a coronamento di un programma iniziato da A. Grothendieck), e la congettura di Mordell (dimostrata da G. Faltings nel 1983).

Si seguira' il libro di testo: James Milne, Elliptic curves file pdf .

In conclusione, lo scopo del corso e' innanzitutto culturale: introdurre gli studenti ad un importante, avvincente e ramificato (non solo in matematica pura, ma anche applicata) argomento di matematica contemporaneache ha e' intimamamente connesso con la Geometria Algebrica. E' rivolto a tutti gli studenti della Laurea magistrale, e non solo a quelli che intendono fare una tesi in geometria e/o algebra.

I prerequisiti sono i corsi obbligatori di Algebra, Analisi e Geometria della Laurea Triennale (Algebra 1,2, Geometria 1-4, Analisi Matematica 1-4, Analisi Reale e Complessa).