Geometria 2 2018-'19 - LAUREA Triennale in Matematica

Prof. Giuseppe Pareschi

Dipartimento di Matematica

Viale della Ricerca Scientifica 1, 00133, Roma, IT

Stanza: 1105

Telefono: 06 72594687

pareschi@mat.uniroma2.it

CORSO di GEOMETRIA 2 con ELEMENTI di STORIA 2 - LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA (PRIMO ANNO, SECONDO SEMESTRE)

Codocente: Prof. Paolo Salvatore

Orario
LU 9-11
MA 11-13
ME 9-11
VE 11-13
Sempre in aula 5 PP2.

AVVISI

- Usciti i voti del quarto appello.

Ricevimento studenti
Dopo le lezioni (specialmente quando finiscono alle 13.
Oppure Su appuntamento (mandare un'e-mail). Potete anche fare domande direttamente via e-mail.

ESAMI
Appello scritto del 26/06/2019. Il testo con le soluzioni stanno nel sito Didatticaweb.
AMMESSI ALL'ORALE:
Ciamberlano. 18
D'Amore. 17
D'Elia. 19
Federici 28
Liberatori. 17
Lin. 24
Pigozzi. 30
Ricci. 20
Tomeo. 26
Valeri. 15

Orale sconsigliato (voto tra il 10 e il 12): Bianchi, Frusone, Mangiapelo, Sacchetti.

Appello scritto del 17/07/2019
L'esame orale si terra' lunedi 22/07 a partire dalle 9.00 in aula D'Antoni. Seguira' tabella oraria.
Il testo e' postato sul sito didattica web.
Ammessi all'orale:
Bianchi. 18
Ciamberlano. 22
Chialastri. 20.
Cortese 26.
Iovine. 20.
Liberatori. 18.
Mangiapelo. 15.
Pastorini. 18.
Sacchetti. 15

Non ammesso Giannonatoni.
TABELLA ORARIA:
ore 9: SACCHETTI, BIANCHI.
ore 10: CIAMBERLANO, CHIALASTRI.
ore 11: CORTESE, IOVINE.
ore 12: LIBERATORI, MANGIAPELO, PASTORINI.

Appello scritto n.3 del 26 agosto 2019.

Il testo con brevi soluzioni verra' postato oggi pomeriggio.

L'esame orale si terra', in ordine alfabetico degli ammessi, a partire dalle ore 10.3o nello studio del Prof. Pareschi (in caso di presenza di molte persone ci sposteremo in un'aula seminari).
VOTI:
PASTORINI. 20.
ROMANI. 16.
TORTOLANO. 27.
Gli altri: BRAESCU, FORTE, LO VETERE, MINATI, VICARI, sono insufficienti.

Appello scritto n.4 del 19 settembre 2019

Testo con soluzioni: nel sito didattica web.
VOTI:
BRAESCU: 25
GIANNANTONI: 13
Gli altri: CARRETTA, CITATELMI, FORTE, FRONZA, MILANA, MINATI, MINOSSE, VICARI, sono insufficienti.
Orale: Lunedi ore 12.30 (e non alle 10, come precedentemente annunciato) ufficio prof. Pareschi (eventualmente poi andremo in un'aula seminari). Gli orali dovrebbero essere tre: Romani (dall'appello precedente), Braescu e Giannantoni. Se qualcuno volesse sostenerlo un po' piu' avanti puo' farlo (in questo caso mandate una e-mail).

Appello scritto n. 6 del 27 febbraio 2020
Ammessi all'orale:
Gobbi: 16
Milana: 15
Minati: 25
Vicari: 21
Scritto insufficiente: Citatelmi, Forte, Noce, Proia
L'orale puo' essere sostenuto venerdi 28 febbraio alle 10. Ufficio Prof. Pareschi. Oppure piu' avanti (non piu' di due settimane). In questo caso scrivete una e-mail per concordare una data.
Libri consigliati

Il libro consigliato e':
[G1] E. Sernesi, Geometria 1, Boringhieri (Seconda edizione) . In Inglese: E. Sernesi, Linear Algebra: A Geometric Approech, CRC Press

Un ottimo libro, che contiene quasi tutta la parte di algebra lineare del corso, e anche la parte di geometria euclidea (ma non le parti di geometria affine e proiettiva), posti in un contesto piu' ampio e':
M. Artin, Algebra, Boringhieri In Inglese: M. Artin, Algebra, Prentice - Hall

Infine un altro ottimo libro, che pero' contiene molto molto piu' materiale di quanto potremo affrontarne noi, e':
M. Nacinovich: Lezioni di Geometria Analitica, Liguori

Un classico libro di algebra lineare e':
S. Lang, Algebra Lineare, Boringhieri

Vari files di materiale didattico verrano postati nel sito didattica web.

Programma di massima

I temi di massima del corso saranno i seguenti, in ordine cronologico. Essi verranno ulteriormente precisati in corso d'opera. Il dettaglio si trovera' nel diario delle lezioni.

GEOMETRIA AFFINE:
Richiami da Geometria 1
Riferimenti affini. Cambiamento di riferimento affine.
Applicazioni affini. Gruppo delle affinita'.

GEOMETRIA EUCLIDEA:
Spazi vettoriali/affini euclidei.
Endomorfismi unitari e isometrie del piano e dello spazio.
Spazi euclidei complessi (prodotti hermitiani). Classificazione affine/euclidea di forme quadratiche reali. Classificazione affine/euclidea e geometria euclidea di coniche e quadriche reali.

GEOMETRIA PROIETTIVA
Spazi proiettivi. Riferimenti proiettivi e coordinate omogenee. Proiettivita'. Sottospazi lineari.
Identificazione tra il complementare di un iperpiano di uno spazio proiettivo e uno spazio affine.
Classificazione proiettiva di coniche e quadriche nel caso reale e complesso e relazione con la classificazione affine.

ALGEBRA LINEARE:
Spazi vettoriali quoziente.
Teorema di Cayley-Hamilton.
Forma normale di Jordan.

Modalita' d'esame

Ogni esame e' scritto e orale.
Nello scritto non si possono consultare libri o appunti.
IMPORTANTE! Prenotarsi sul sito delphi.
NEW!!! Durante il corso si svolgeranno, durante l'orario di lezione, quattro esercitazioni scritte *ufficiali* (circa ogni tre/quattro settimane. Il calendario uscira' in questi giorni). Il voto massimo per ognuna di esse sara' 1.5. Per le studentesse/gli studenti CHE SUPERERANNO L'ESAME FINALE NELLA SESSIONE ESTIVA OPPURE NELLA SESSIONE AUTUNNALE DELL'ANNO 2018-'19, il voto dell'esame verra' calcolato sommando al voto conseguito il voto totale (max 6 punti) ottenuto nelle eventuali esercitazioni sostenute. Ripeto: questo avverra' solo per coloro che avranno gia' superato l'esame scritto e orale.

ESERCITAZIONE DEL 25/03: VOTI
2: Pigozzi
1,5: Ciamberlano, D'Elia, Liberatori, Tomeo.
1,3: Federici
1,2: Frusone
1: Bianchi, Chialastri, Giannantoni, Iovine, Lin, Mangiapelo, Minosse, Rossini, Sacchetti, Tortolano, Valeri
0,9: Baricchia
0,8: Ricci
0,5: Fronza
0: Carretta, Finea, Lo Vetere, MInati, Noce, Pastorini, Vicari

ESERCITAZIONE del 15/04: VOTI
1,5: D'Elia, Pastorini, Pigozzi
1,3: Tomeo
1,1: Federici, Frusone, Lin, Chialastri
0,9: Tortolano
0,6: Ciamberlano, Valeri, Vicari, Minati
0,4: Bianchi
0,3: Baricchia, Mangiapelo, Lococcia(?), Minosse, Ricci, Lo Vetere
0,2: Fronza, Iovine
0: Giannantoni, Rossini, Santelli

ESERCITAZIONE del 13/04: VOTI
Baricchia. 0.6
Bianchi. 0.3
Chialastri. 0.8
Ciamberlano. O.8
D'Elia. 1.4
Federici. 1.5
Frusone. 0.8
Iovine. 1.3
Lo Vetere. 0
Lin. 0.7
Mangiapelo. 0.7
Minati. 0.2
Pastorini. 0.5
Pigozzi. 1.5
Ricci. 0.7
Rossini. 0.1
Sacchetti. 0.2
Tomeo. 1.3.
Tortolano. 1
Vicari. 0

ESERCITAZIONE del 07/06: VOTI
Anonimo: 1,4
Bianchi: 0,1
Baricchia: 0
Federici: 1.8
Iovine: 1,8
Frusone: 1,5
Lin: 1,7
Minati: 0,5
Pastorini: 1,5
Pigozzi: 2
Sacchetti: 0,3
Santelli: 0,5
Tomeo: 1,2
Tortolano: 1,7
Valeri: 1,5
Villari: 1

Diario delle lezioni

04/03
Argomento. Presentazione del corso. Definizione di categoria. Definizione di azione di gruppo.
Riferimento.File Teoria 1.
Esercizi. File Teoria 1.

05/03
Argomento. Esempi di azione di gruppo. Spazi affini: definizione. Spazi affini: definizione alternativa come insieme dotato di un'azione semplicemente transitiva del gruppo additivo di uno spazio vettoriale (tramite traslazioni). Lo spazio V(aff) (da non confondere con Vaff...). Scelta dell'origine in uno spazio affine. Applicazioni affini: definizione. Applicazioni affini: una volta scelte origini del dominio e codominio sono funzioni del tipo f(x)+c, con f lineare.
Riferimento.File Teoria 1. Spazi affini: [G1] Cap 1 Sez 7. Applicazioni affini: [G1] Cap 1 Sez. 14 (ma ci sono solo le affinita')
Esercizi. File Teoria 1.

06/03
Argomento. Esempio di applicazione affine: proiezione ortogonale su un sottospazio affine (nello spazio V(aff) con V spazio vettoriale euclideo).
Riferimento.
File Teoria 1. Esercizi. File Esercizi n.1

08/03
Argomento. Proiezione ortogonale su un sottospazio affine (continuazione). Applicazione: formula per la distanza punto-iperpiano.
Riferimento. File Teoria1.
Esercizi. File Esercizi n.1

11/03
Argomento.Esercizi. Esercizi. File Esercizi n.1

12/03
Argomento. Traslazioni. Applicazioni affini (continuazione). Punti affinemente indipendenti. Esistenza ed unicita' di un'applicazione affine determinata dall'immagine di n+1 punti affinemente indipendenti. Rotazioni.
Riferimento. File di Teoria2 (ancora non c'e'). Alcune cose si trovano in [G1]: Traslazioni: p.198. Esistenza e unicita' (solo per le affinita', ma dimostrazione vale anche per applicazioni affini): Lemma 14.5. Prop. 14.12.
Esercizi.

13/03
Argomento. Riflessioni ortogonali. Il gruppo delle affinita' e il suo omomorfismo naturale su GL(V). Il sottogruppo delle traslazioni. Il sottogruppo (non normale) GL(V) di Aff(V). Sottogruppo Aff(P) delle affinita' che fissano il punto P. Sono tutti coniugati tra loro.
Orintazione.
Riferimento. File Teoria 2 (ancora non c'e'). [G1] Cap. 1 Sez. 14.
Esercizi. File Esercizi 2. [G1] Cap. 1 Sez. 14, Es. 7,6,5.

15/03
Argomento. Orientazione. Riferimenti affini.
Riferimento. Orientazione: [G1] p.154, p.160. Riferimenti affini: p.94, p.159-162.
Esercizi. File Esercizi 2. [G1] Cap 1 Sez.12 Es 8,9,10. (p.163)

18/03
Argomento. Esercizi.
Riferimento.

19/03
Argomento. Richiami sui campi: caratteristica di un campo, campi algebricamente chiusi, chiusura algebrica.
Forme bilineari (richiami). Forme quadratiche. Matrice associata. Diagonalizzazione di una forma quadratica.
Riferimento. [G1] Sezioni 15 e 16.
Esercizi. [G1] Sez.15 Esecizi da 2 a 5. Sez. 16 Esercizi da 1 a 7.

20/03
Argomento. Diagonalizzazione di una forma quadratica. Classificazione delle forme quadratiche: caso reale e caso di campo algebricamente chiuso.
Curve algebriche piane affini. Coniche affini. Equivalenza affime di curve algebriche piane. Matrice di una conica.
Riferimento. Curve algebriche piane, equivalenza affine: [G1] sez. 28 fino a pagina 360.
Esercizi.

25/03
Argomento. Esercitazione

26/03
Argomento. Classificazione affine delle coniche affini: forma canoniche, caso reale e complesso: vari commenti ed esempi . Simmetria centrale in uno spazio vettoriale. Proposizione: relazione di commotuazione tra un'affinita' e un simmetria centrale: FR_{P}=R_{F(P)}F (dove R_{P} denota la simmet$ centrale rispetto a P). Conseguenza: essere simmetrico rispetto ad un punto e' una proprieta' affine.
Riferimento. [G1] Sezione 31. Simmetria centrale: 16.6(4) p. 200 e p.362. Ma sul libro non ci sono la Proposizione di cui sopra e la sua Conseguenza. Esercizi.

27/03
Argomento. Illustrazione della dimostrazione del teorema di classicicazione con esempi. Coniche a centro. Formula per il centro di simmetria.
Ipersuperfici quadriche: cenni.
Riferimento. [G1] Sezione 31
Esercizi. [G1] Sez. 31. Da 1 a 4.

29/03
Argomento. Esercizi. Esercizi. File Esercizi 3. 01/04
Argomento. Spazi vettoriali euclidei. Basi ortonormali. Coordinate di un vettore rispetto ad una base ortonormale. Matrici ortogonali. Isomorfismi di spazi vettoriali euclidei: sono rappresentati rispetto a basi ortonormali (del dominio e del codominio) da matrici ortogonali. Gruppo ortogonale (O(V) e O(n)) e gruppo speciale ortogonale (SO(V) e SO(n)).
Riferimento. [G1] Sezione 20: prime tre pagine.
Esercizi.

02/04
Argomento. Endomorfismi ortogonali: determinante= 1 o -1; autovalori = 1 o -1 (se ce ne sono). Inoltre per ogni autovettore, l'ortogonale del sottospazio di dimensione 1 generato da v e' invariante.
Classificazione degli endomorfismi ortogonali in dimensione 2: rotazioni (det =1) e riflessioni (det=-1).
Endomorfismi ortogonali in dimensione 3: rotazioni rispetto ad un asse (passante per l'origine).
Riferimento. [G1] Sezione 21
Esercizi. [G1] Sez. 21: prime due pagine.

03/04
Argomento. Classificazione di endomorfismi ortogonali in dimensione 3. Corollario: la composizione di due rotazioni di R(3) rispetto a due assi e' ancora una rotazione.
Spazi affini euclidei. Distanza. Isometrie. Teorema: un'isometria e' necessariamente un'affinita' la cui applicazione lineare e' ortogonale.
Riferimento. [G1] 21.5. Isometrie: [G1] Sezione 20 (prime pagine).
Esercizi.

05.04
Argomento. Esercizi (Prof. Salvatore)
Esercizi. Esercizi 4.

08/04
Argomento. Isometrie. Teorema: un'isometria e' necessariamente un'affinita' la cui applicazione lineare e' ortogonale (continuazione).Teorema di Chasles sulla classificazione delle isometrie del piano.
Riferimento. [G1] Sezione 21 (A lezione ho illustrato una dimeostrazione diversa del teorema di Chasles)
Esercizi. File n.5. Esercizi della Sezione 20 di [G1] )p. 274-275).

09/04
Argomento. Sottogruppi delle isometrie dei poligoni regolari. Teorema: i sottogruppi finiti del gruppo delle isometrie del piano sono ciclici o diedrali.
Riferimento. [G1] Sez. 21 (A lezione ho illustrato una dimostrazione parzialmente diversa)
Esercizi. File n.5.

10/04
Argomento. Classificazione delle isometrie dello spazio tridimensionale (solo enunciato).
Classificazione euclidea delle forme quadratiche. Forma canonica metrica.
Classificazione eulcidea delle coniche affini.
Riferimento. Isometrie: [G1] Sez. 21. Forme qudratiche: [G1] Sez. 22 (Teorema 22.4). Coniche euclidee: [G1] Sez. 31.
Esercizi. File n.5.

12/04
Argomento.Esercizi (Prof. Salvatore). Esercizi. File n.5.

15/04
Argomento. Classificazione euclidea delle coniche affini (continuazione).
Riferimento. [G1] Sez. 31.
Esercizi. File n.6. Esercizi di [G1] Sez. 31.

16/04
Argomento. Classificazione euclidee di coniche affini (cntinuazione). Riferimento. [G1] Sez. 31.
Esercizi. File n.6.

17/04
Argomento. Proprieta' euclidee delle coniche affini: definizioni equivalenti delle ellissi, iperboli, parabole non degeneri.
Riferimento. [G1] Sez. 32.
Esercizi. File n.6. Esercizi di [G1] Sez. 32.

19/04
Argomento. Equazione polare di una conica.
Superfici quadriche non degeneri.
Geometria euclidea sui complessi: forme hermitiane. Diaginalizzazione di forme hermitiane. Forme hermitiane definite positive (prodotti hermitiani o scalari) e loro proprieta' fondamentali. Norma, distanza, ortogonalita'. Basi ortonormali.
Riferimento. Coniche euclidee e quadriche: [G1] Sez. 31. Geometria euclidea sui complessi: [G1] Sez. 23 (inizio)
Esercizi. File n.6.

23/04Lezione cancellata.

24/04
Argomento.Esercizi (Prof. Pareschi) Esercizi. File n.6.

29/04
Argomento. Geometria euclidea sui complessi (continuazione): Basi ortonormali e loro proprieta': coefficienti di Fourier, determinano isomorfismo di spazi euclidei con C(n) munito del prodotto hermitiano standard. Operatori hermitiani e simmetrici (rispetto ad un prodotto hermitiano/scalare). La loro matrcie rispetto ad una base ortonormale e' hermitiana (simmetrica nel caso reale). Il teorema spettrale nel caso complesso. Matrici unitarie. Operatori unitari. La loro matrice rispetto ad una base ortonormale e' unitaria. Determinante, autovalorie autovettori, diagonalizzabilita' di un operatore unitario.
Riferimento. [G1] Sez. 23.
Esercizi: [G1] Sez. 23

30/04
Argomento. Geometria euclidea sui complessi (fine): i gruppi U(n) e SU(n). Descrizione esplicita delle matrici di SU(2). Isometrie di spazi affini complessi.
Spazi proiettivi. Riferimenti proiettivi e coordinate omogenee.
Riferimento. Geometria euclidea sui complessi: [G1] Cap.23. Spazi proiettivi: [G1] Cap. 24 fino a sottospazi proiettivi (esclusi). Inoltre abbiamo visto nel dettaglio il punto 4 di Esempi e Osservazioni (sempre del Cap. 24).
Esercizi. File n.7

03/05
Argomento. Sottospazi proiettivi. Formula di Grassmann proiettiva.
Riferimento. [G1] Cap. 24
Esercizi. File n.7. [G1] Cap. 24.

06/05
Argomento. Esercizi. File n.7

07/05
Argomento. Proiezioni di centro un sottospazio proiettivo su un altro sottospazio proiettivo di dimensione complementare (sghembo con il centro). Rappresentazioni di P1(R), P1(C). Sottoinsiemi affini e sottospazi all'infinito.
Riferimento. [G1] Cap. 24 e 25.
Esercizi.

08/05
Argomento. Sottospazi affini e sottospazi all'infinito (continuazione). Il caso di retta parallele in A(2): significa che in P(2) si incontrano all'infinito.
Riferimento. [G1] Cap. 25.
Esercizi. [G1] Cap. 25.

13/05
Argomento. Esercitazione n.3.

14/05
Argomento. Algebra lineare: spazi vettoriali quoziente. Primo Teorema di omomorfismo per soazi vettoriali.
Riferimento. Sez. 8 p.108.
Esercizi. File n.9.

15/05
Argomento. Passaggio al quoziente di un endomorfismo rispetto ad un sottospazio invariante. Potenze e polinomi di endomorfismi e di matrici. Teorema di Cayley-Hamilton: enunciato ed esempi. Polinomio minimo.
Riferimento. File Teoria2.

17/05
Argomento. Teorema di Cayley-Hamilton.
Riferimento. File Teoria2.
Esercizi. File Esercizi 9-10.

20/05
Argomento. Esercizi su argomenti precedenti.

21/05
Argomento.Teorema di Cayley-Hamilton.
Riferimento. File Teoria2.
Esercizi. File Esercizi 9 e 10.

22/05
Argomento. Forma normale di Jordan (introduzione).
Riferimento. File Teoria3 oppure [G1] Sez. 13(II)
Esercizi.

24/05
Argomento.Esercizi su argomenti precedenti.

27/05
Argomento. Lezione cancellata (elezioni)

28/05
Argomento. Esercizi (Prof. Salvatore)

29/05
Argomento. Esercizi (prof. Salvatore)
31/05
Argomento. Forma normale di Jordan.
Riferimento. File n.3 e 4 oppure [G1] Sez. 13(II)
Esercizi. Esercizi 11 e [G1] SEz. 13(II)

03/06
Argomento. Esercizi (Prof. Salvatore)

04/06
Argomento. Esercizi (Prof. Salvatore)

05/06
Argomento. Esercizi (Prof. Salvatore)

07/06
Argomento. Esercitazione n.4.

Diario dei Files

I files sono postati sul sito Didattica Web del corso link

Teoria (spesso con esercizi)
Teoria 1. Azioni di gruppo. Spazi ed applicazioni affini.
Teoria 2. Teorema di Cayley-Hamilton.
Teoria 3. Forma canonica di Jordan I.
Teoria 4. Forma canonica di Jordan II

Esercizi
Esercizi 1(applicazioni affini, proiezioni etc.). Con soluzioni.
Esercizi 2(applicazioni affini, riferimenti affini, orientazione). Con soluzioni.
Esercizi 3(Forme bilineari e quadratiche. Coniche). Con soluzioni.
Esercizi 4(Spazi vettoriali euclidei). Con soluzioni.
Esercizi 5(Isometrie etc.). Con soluzioni.
Esercizi 6(Coniche euclidee etc). Con soluzioni.
Esercizi 7(Spazi euclidei complessi etc). Con soluzioni.
Esercizi 8(Geometria proiettiva. Con soluzioni.). Con soluzioni.
Esercizi 9(Spazi vettoriali quoziente). Con soluzioni.
Esercizi 10(Polinomi di endomorfismi, Teorema di Cayley-Hamilton). Con soluzioni.
Esercizi 11(Forma canonica di Jordan)

Esercitazioni
Esercitazione 1 del 25 marzo
Esercitazione 2 del 15 aprile
Esercitazione 3 del 13 maggio
Esercitazione 4 del 7 giugno