Prof. Giuseppe Pareschi


Dipartimento di Matematica

Viale della Ricerca Scientifica 1, 00133, Roma, IT

Stanza: 1105

Telefono: 06 72594687

pareschi@mat.uniroma2.it





CORSO di GEOMETRIA 2 con ELEMENTI di STORIA 2 - LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA (PRIMO ANNO, SECONDO SEMESTRE)

Codocente: Prof. Francesca Tovena

Orario
LU 9-11
MA 11-13
ME 9-11
VE 9-11
Sempre in aula 5 PP2.

AVVISI
AVVISO IMPORTANTE!!! Lo scritto di mercoledi 27-02 e' anticipato alle 14.00. Dunque Mercoledi 27-02, ore 14.00, aula 5PP2.

Ricevimento studenti
Su appuntamento (mandare un'e-mail). Potete anche fare domande direttamente via e-mail.


ESAMI
I testi degli esami scritti, con soluzioni, si trovano sul solito sito
Scritto del 26/06/'18: il testo con soluzioni e' nel solito sito dei files.


Appello del 24 luglio. Il testo con soluzioni e' nel solito sito.

Appello 3 del 10 settembre 2018. Il testo con soluzioni e' nel solito sito.


Appello 4 del 27 settembre 2018. Il testo con soluzioni e' nel solito sito.


Appello 5 del 5 febbraio 2019. Il testo con soluzioni e' nel solito sito.
Risultati
AGULINI: Insuff.
D'AMORE: Insuff.
MUTO: 20/30
PERA: 14/30
VALLIFUOCO: 13/30
Gli studenti con voto in numeri sono ammessi all'orale. Per quelli il cui voto e' *insufficiente* l'orale e' sconsigliato.


Appello 6 del 27 febbraio 2019. Testo con soluzioni: apparira' piu' avanti.
Risultati: AGULINI 14/30.
D'AMORE: Insuff..
FORTE: insuff.
LEGGIO: insuff.
La stuedentessa AGULINI e' ammessa all'orale. Per gli altri l'orale e' sconsigliato.
Opzioni per l'esame orale: venerdi 1 marzo alle 14.30 (e non alle 10 come scritto sul calendario del Corso di Laurea). Aula 29A. Oppure Martedi 12 marzo. Fatemi sapere.

Libri consigliati

Per quanto riguarda l'algebra lineare il libro consigliato e' lo stesso di Geometria 1:
[AL] C. Ciliberto, Algebra Lineare, Boringhieri

Per quanto riguarda la Geometria, il libro consigliato e':
[G1] E. Sernesi, Geometria 1, Boringhieri (Seconda edizione) . In Inglese: E. Sernesi, Linear Algebra: A Geometric Approech, CRC Press
Questo libro contiene anche anche una parte di algebra lineare che corrisponde piu' o meno agli argomenti coperti dal libro precedente, anche se in modo meno dettagliato.

Un ottimo libro, che contiene quasi tutta la parte di algebra lineare del corso, e anche la parte di geometria euclidea (ma non le parti di geometria affine e proiettiva), posti in un contesto piu' ampio e':
M. Artin, Algebra, Boringhieri In Inglese: M. Artin, Algebra, Prentice - Hall

Infine un altro ottimo libro, che pero' contiene molto molto piu' materiale di quanto potremo affrontarne noi, e':
M. Nacinovich: Lezioni di Geometria Analitica, Liguori



Programma

I temi del corso sono i seguenti, in ordine cronologico. Il dettaglio si trova nel diario delle lezioni.

ALGEBRA LINEARE:
Spazi vettoriali quoziente.
Spazi duali.
Autovalori. autovettori e diagonalizzazione.
Forma normale di Jordan.


GEOMETRIA EUCLIDEA:
Spazi vettoriali/affini euclidei.
Endomorfismi unitari e isometrie del piano e dello spazio.
Spazi euclidei complessi (prodotti hermitiani) In corso

ALGEBRA LINEARE:
Forme bilineari.
Diagonalizzazione di forme quadratiche.
Teorema spettrale per endomorfismi autoaggiunti.

GEOMETRIA EUCLIDEA:
Classificazione affine/euclidea di forme quadratiche reali. Classificazione affine/euclidea e geometria euclidea di coniche reali.

GEOMETRIA NEGLI SPAZI PROIETTIVI:
Spazi proiettivi. Riferimenti proiettivi e coordinate omogenee. Proiettivita'. Sottospazi lineari.
Identificazione tra il complementare di un iperpiano di uno spazio proiettivo e uno spazio affine.
Classificazione proiettiva di coniche e quadriche nel caso reale e complesso e relazione con la classificazione affine.
Dualita'.


Modalita' d'esame

Ogni esame e' scritto e orale.
Nello scritto non si possono consultare libri o appunti.
Su richiesta si puo' sostenere l'esame scritto al primo appello e l'orale al secondo appello della stessa sessione.

IMPORTANTE! Prenotarsi sul sito delphi.

Diario delle lezioni

06/3 (2 ore)
Richiami sull'insieme quoziente e sui gruppi quoziente. Spazi vettoriali quoziente e (primo) teorema di omomorfismo.
Riferimento. [AL] Cap.11 Sezioni 1 e 2. Oppure [G1] Sez. 11. Sottosezioni 6 e 7 p.138-142.
Esercizi. File n.1.

07/3 (2 ore)
Esercizi, esempi e osservazioni sugli spazi quoziente. Ad esempio: una funzione lineare f di dominio V fattorizza attraverso V/W se e solo se W e' contenuto in ker(f). Esempi di quozienti in dimensione infinita.
Riferimento. Come sopra.
Esercizi. Sempre File n.1.

09/3 (2 ore)
Spazio Hom(V,W) delle applicazioni K-lineari da V a W. Isomorfismo con lo spazio della matrici mxn a coefficienti in K (dove n=dim V e m=dim W). Struttura di anello su Hom(V,V) e isomorfismo con l'anello delle matrici quadrate di ordine n. Spazio vettoriale duale. Base duale. Esempi. Doppio duale. Isomorfismo canonico tra V e il suo doppio duale (in dimensione finita). Trasposta di un'applicazione lineare e sua matrice rappresentativa. Annullatore di un sottospazio vettoriale.
Riferimento. [AL] Cap. 11, Sez. 1-4 e 6-7 (p. 177-192). Oppure [G1] CAP. 11, parte finale della sottosez. 7 e complementi 11.14.1 e 11.14.2 (p. 143-147).
Esercizi. File n.2.

12/3 (2 ore) . Tutoraggio.

13/3 (2 ore)
Complementi/Elementi di Storia: Intepolazione polinomiale alla Lagrange.
Riferimento. File su didattica web (ancora da scrivere). Esercizi Vedi lo stesso file.

14/3 (2 ore)
Prima ora: Spazio duale (continuazione). La matrice della trasposta nei riferimenti duali e' la matrice trasposta. Conseguenza: la trasposta della trasposta di f si identifica a f. Annullatore di un sottospazio W: scegliendo una riferimento si identifica al sottospazio ortogonale di W. Ann(Ann (W))=W. Ann(Im(f))=ker(f^T) e Ann(ker(f))=Im(f^T) (dove f^T denota la trasposta di f).
Seconda ora: richiami su matrici coniugate. Sottospazi invarianti per un'applicazione lineare e matrici triangolari a blocchi. Il caso di uno spazio che e' somma diretta di sottospazi invarianti corrisponde, per un'opputun scelta del riferimento, a matrici diagonali a blocchi.
Riferimento. Spazi duali: come sopra. Sottospazi invarianti: [AL]: Cap 16 Sez. 1.
Esercizi. Spazi duali: file n.3

16/3 (2 ore)
Sottospazi invarianti (continuazione). Sottospazi invarianti di dimensione uno e autovettori. Autovalori. Versione matriciale. Diagonalizzabilita' e diagonalizzazione di endomorfismi in dimensione finita. Autovettori, autovalori, diagonalizzabilta' e diagonalizzazione di matrici quadrate. Esempi: (a) proiezione ortogonale di R(2) su una retta passante per l'origine; (b) riflessione (o simmetria) ortogonale di R(2) rispetto ad una retta passante per l'origine.
Riferimento. [AL]: Cap 16 Sez. 1 e 2. [G1]: Inizio cap. 13, p.163-166.
Esercizi. File n.4.

19/3 (2 ore)
Esempi di autovalori e autovettori: riflessioni di R(2) rispetto ad una retta per l'origine e rotazioni di R(2) di centro l'origine. Alcuni esempi di autofunzioni per endomorfismi in dimensione infinita. Polinomio caratteristico di una matrice e di un endomorfismo. Autospazi. Caratterizzazione degli autovalori come gli zeri (in K) del polinomio caratteristico.
Riferimento. [AL]: Cap 16 Sez. 3. [G1]: Inizio cap. 13, p.166-169.
Esercizi. File n. 4.

20/3 (2 ore) Tutoraggio.

21/3 (2 ore)
Esempio: le rotazioni (non banali) di R(2) non hanno autovalori in R ma sono diagonalizzabili in C. Spettro di un endomorfismo. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. Indipendenza lineare di autovettori relativi ad autovalori distinti. Teorema: un K-endomorfismo (in dimensione finita) e' diagonalizzabile se e solo se il suo spettro e' contenuto in K e, per ogni autovalore, la molteplicita' algebrica e geometrica coincidono.
Riferimento. [AL]: Cap 16 Sez. 3 e 4. [G1]: Cap. 13, p.170-174.
Esercizi. [G1] Es. 7-15 alla fine del cap. 13.

23/3 (2 ore)
Complementi: (a) Traccia e determinante come coefficienti del polinomio caratteristico. Conseguenza: traccia e determinante sono rispettivamente la somma e prodotto degli n=dim V elementi (non necessaraiamente distinti) dello spettro.
(b) Se un numero complesso z e'uno zero del polinomio caratteristico di una matrice reale allora anche il coniugato di z lo e'.
(c) Come calcolare brevemente potenze arbitrariamente alte di matrici diagonalizzabili.
(d) Triangolarizzazione di matrici a coefficienti in K il cui spettro e' contenuto in K.
Riferimento. [AL] Triangolarizzazione: Cap 16 Sez. 5. Traccia e determinante: Cap. 16 Sez. 9, solo il Teorema 16.26 (la dimostrazione data a lezione e' piu' semplice). Zeri coniugati: Cap. 16 Sez. 16.
Esercizi. File n.5.

26/3 (2 ore) Tutoraggio (Prof. Tovena).

27/3 (2 ore) Triangolarizzazione (continuazione).
Polinomi di matrici. Teorema di Cayley-Hamilton.
Riferimento.
Esercizi.

28/3 (2 ore) Teorema di Cayley-Hamilton (continuazione).
Preliminari per la forma normale di Jordan: endomorfismi ciclici, endomorfismi nilpotenti.
Riferimento. Teorema di Cayley-Hamilton: [AL] cap. 16, Sez. 6. La dimostrazione vista a lezione e' simile ma un po' piu' semplice, e non usa la triangolarizzazione. La scrivero' in un file.
endomorfismi ciclici e nilpotenti: [AL] cap. 17. Sez.1 (eccetto il teorema 17.4 che vedremo la prossima volta). [G1] capitolo 13 parte II, fino a Lemma 13.22.
Esercizi.

30/3 (2 ore) Forma normale di Jordan nel caso nilpotente
Forma normale di Jordan nel caso generale: Riduzione al caso nilpotente.
Riferimento. File di teoria n.2
Esercizi. File n.6.

3/4 (2 ore) Tutoraggio (Prof. Tovena).

4/4 (2 ore) Forma normale di Jordan (conclusione).
Riferimento. File di teoria n.2
Esercizi. [G1] Esercizi 16-10 alla fine della Sez.13. File n.7

6/4 (2 ore) Prodotti scalari: richiami (dal corso Geometria 1), esempi e controesempi (metodi di completamento del quadrato). Basi e riferimenti ortogonali e ortonormali e formula per le coordinate rispetto ad essi (coefficienti di Fourier). La scelta di un riferimento ortonormale su uno spazio vettoriale reale (di dimensione finita) equivale alla scelta di un isimorfismo di spazi vettoriali euclidei con R(n) munito del prodotto scalare ordinario.
Riferimento. [G1] Sez. 17
Esercizi. [G1] Esecizi 1-13 alla fine della Sezione 17. Inoltre: file n.7

9/4 (2 ore) Tutoraggio (Prof. Tovena).

10/4 (2 ore) Spazi vettoriali euclidei: Teorema di decomposizione ortogonale. Proiezione ortogonale. Distanza tra un vettore ed un sottospazio vettoriale. Esempi (tra cui la proiezione ortogonale di una funzione continua su [0,2pigreco] sullo spazio dei polinomi trigonometrici.
Riferimento. [G1] Sez. 17
Esercizi. [G1] Esecizi 1-13 alla fine della Sezione 17.

11/4 (2 ore) Endomorfismi (operatori) unitari (detti anche ortogonali, o metrici) e matrici ortogonali. Autovalori e autospazi di operatori unitari. Rndomorfismi unitari in dimensione 2.
Riferimento. [G1] Sez. 20
Esercizi. [G1] Esercizi 2 e 4 alla fine della Sezione 20.

13/4 (2 ore) Esempi di endomorfismi significativi in spazi euclidei: proiezione ortogonale su un sottospazio vettoriale, rilessione ortogonale rispetto ad un spazio vettoriale, rotazione di uno spazio tridimensionale attorno ad una retta passante per l'origine.
Orientazione.
Classificazione di endomorfismi unitari in dimensione due: rotazioni e riflessioni.
Riferimento. Orientazione: [G1] Sez. 12 (prima della sottosezione 12.4) e alla fine della sez. 17 (angolo orientato).
Esercizi. File n. 8.

16/4 (2 ore) Tutoraggio (Prof. Tovena).

17/4 (2 ore) Classificazione di endomorfismi unitari in dimensione due: rotazioni e riflessioni (conclusione).
Classificazione di endomerfismi unitari in dimensione tre: rotazioni rispetto ad un asse (dirette) e riflessioni rotatorie (inverse). (per riflessione rotatoria si intende la composizione della riflessione rispetto ad uno sottospazio W di dimensione 2 con una rotazione che ha come asse il sottopsazio ortogonale a W.)
Generalita' su SL(n,R) e SO(n).
Riferimento. [G1] Sez. 20 e Sez. 21 (pero' fa solo la classificazione degli endomorfismi unitari in dimensione 3 diretti. Noi abbiamo visto anche gli inversi).
Esercizi.

18/4 (2 ore) Premessa: in questa parte ho semplificato un po' e, invece di considerare uno spazio affine euclideo arbitrario, mi sono limitato a considerare uno spazio vettoriale euclideo V con la struttura canonica di spazio affine su se stesso.
Teorema: ogni isometria di V e' (in modo unico) la composizione di un endomorfismo unitario e una traslazione.
Generalita' su affinita' e isometrie: la traslazione e la parte lineare. il sottogruppo delle traslazioni (normale) e il sottogruppo degli endomorfismi (unitari) (non normale).
Esempi di applicazioni affini e isometrie affini:
(1) proiezione ortogonale su un sottospazio affine. Distanza punto-sottospazio affine. Formula per la distanza punto-iperpiano.
(2) Riflessione ortogonale rispetto ad un sottospazio affine.
(2) Rotazione di uno spazio di dimensione 2 (detto un piano) di centro un punto. Proposizione: ogni isometria diretta di un piano che non e' una traslazione e' una rotazione (di centro un dato punto p).
Riferimento. Discussione generale sulle affinita' (in maggiore generalita' rispetto a quanto visto a lezione): [G1] Sez.14.
Isometrie: [G1] Sezioni 20 e 21 (ma non ho seguito alla lettera, meglio dare anche un'occhiata gli appunti se possibile).
Esercizi. Affinita': [G1] Sez. 14, esercizi 6,7.
Isometrie: [G1] Es. da 1 a 6 Sez. 20.

20/4 (2 ore) Classificazione delle isometrie in dimensione 2 (Teorema di Chasles). Esempi di sottosgruppi finiti di I(2): i gruppi di simmetrie di poligoni regolari sono diedrali. I sottogruppi finiti di I(2) sono ciclici (generati dalla rotazione di angolo 2(pigreco)/n oppure diedrali (senza dimostrazione, che comunque e' facile). Osservazione: i sottogruppi di I(2) delle rotazioni con centro fissato sono tutti coniugati tra loro. Riferimento. File teoria/complementi n. 3 e [G1] Sezione 21 (eccetto Teorema di Eulero dulle rotazioni).
Esercizi. [G1] Sez. 20 e file n.9

23/4 (2 ore) Tutoraggio Prof. Tovena.

24/4 (2 ore) Forme bilineari su uno spazio vettoriale. Matrice associata. Cambiamento di base. Matrici congruenti. Vettori isotropi. Decomposizione per vettori non-isotropi.
Riferimento. [G1] Sezione 15 fino a Prop. 15.8 esclusa.
Esercizi. [G1] Sez. 15, Es. 1.

27/4 (2 ore) Diagonalizzazione di forme bilineari/forme quadratiche.
Riferimento. [G1] Sezione 16 teorema 16.1.
Esercizi. File n.10.

30/4 (2 ore) Tutoraggio Prof. Tovena.

2/5 (2 ore) Tutoraggio Prof. Tovena.

4/5 (2 ore) Forma canonica affine di forme bilineari/quadratiche. Legge d'inerzia di Sylvester nel caso reale.
Teorema spettrale per matrici simmetriche (solo enunciato ed esempi).
Riferimento. Forme quadratiche: [G1] Sezione 16 escluso il Teorema 16.5. Teorema spettrale: [G1] Sez. 22.
Esercizi. [G1] Esercizi della sezione 16 e della sezione 22. File n.11.

7/5 (2 ore) Tutoraggio Prof. Tovena

8/5 (2 ore) Operatori simmetrici (o autoaggiunti) su uno spazio euclideo. Teorema spettrale per operatori simmetrici/matrici simmetriche reali: enunciato e dimostrazione. Nel corso della dimostrazione e' stato introdotto il prodotto hermitiano ordinario su C(n) (lo spazio delle n-uple complesse).
Riferimento. [G1] Sez. 22. Prodotto hermitiano: [G1] Sezione 23 (inizio)
Esercizi. [G1] Esercizi della sezione 22.

9/5 (2 ore) Forma canonica euclidea (o metrica) di una forma quadratica reale. Paragone con la forma canonica affine. Segno e segnatura di una forma quadratica reale. Generalita' e esempi di coni isotropi di fome quadratiche.
Proposizione: l'autovalore massimo e minimo di una matrice simmetrica sono il minimo e il massimo dei valori sulla sfera unitaria della corrispondente forma quadratica.
Riferimento. [G1] Sez. 22. La proposizione sul massimo e minimo non c'e' sul libro.
Esercizi.

11/5 (2 ore) Forma canonica euclidea delle coniche reali. Forma canonica affine delle coniche reali.
Riferimento. [G1] Sez. 31 (in parte) e Sez. 32 (inizio)
Esercizi. [G1] Sez. 31 Esercizi 2,3,4. File n.12.

14/5 (2 ore) Tutoraggio.

15/5 (2 ore) Matrice di una conica. Invarianti affini delle coniche reali: rango, rango della parte quadratica, segno del determinante della matrice della parte quadratica, ecc.. Forma canonica affine a di coniche complesse. Coniche a centro.
Riferimento. [G1] Sez. 31.
Esercizi. [G1] Sez. 31 Esercizi 2,3,4.

16/5 (2 ore) Proprieta' euclidee delle coniche non degeneri reali. Descrizione delle coniche tramite l'eccentricita'. Equazione polare di una conica reale.
Geometria euclidea sui numeri complessi: prodotti hermitiani, perpendicolarita', basi ortonormali, coordinate rispetto a basi ortonormali, proiezione ortogonale, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, decomposizione ortogonale, endomorfismi unitari e matrici unitarie.
Riferimento. [G1] Sez. 32. Geometria euclidea complessa: [G1] Sez. 23. (fino a Corollario 23.7).
Esercizi. [G1] Sez. 32 Esercizi. Sezione 23: Esercizio 3.

18/5 (2 ore) Geometria complessa euclidea (conclusione): matrici ortogonali e unitarie, paragone tra SO(2) e SU(2). Autovalori, autovettori e diagonalizzabilita' di endomorfismi unitari complessi. Isometrie di spazi euclidei complessi come composizione di un operatore unitario e di una traslazione. Endomorfismi hermitiani (o autoaggiunti). Corrispondenza tra endomorfismi hermitiani e matrici hermitiane. Teorema spettrale per endomorfismi hermitiani.
Riferimento. [G1] Sez. 23.
Esercizi. [G1] Sezione 23.

21/5 (2 ore) Tutoraggio Prof. Tovena.

22/5 (2 ore) Spazi proiettivi. Riferimenti proiettivi/coordinate omogenee. Significato della dicitura *coordinate omogenee*. Discussione informale di alcuni concetti proiettivi.
Riferimento. [G1] Sez. 24, prime tre pagine.
Esercizi.

23/5 (2 ore) Equazioni omogenee. Sottospazi lineari di un spazio proiettivo come sottovarieta' proiettive definite da equazioni lineari. Formula di Grassmann proiettiva. Rette. Piani. Sottospazio lineare di un sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme. Punti indipendenti.
Riferimento. [G1] Sez. 24 fino a Prop. 24.4 esclusa.
Esercizi. [G1] Sezione 24. Esercizi 1,2,3,5, 7,8,9.

25/5 (2 ore) Sottospazi lineari in posizione generale. Esempi. Proiezione da un punto su un iperpiano. Proiezione da un sottospazio lineare H di dimensione h ad un sottospazio lineare K di dimensione n-h-1 tale che H e K sono in posizione generale.
Identificazione canonica tra P(n)-H(0) e lo spazio affine A(n), dove H(0) e' l'iperpiano di P(n) di equazione X(0)=0. Corrispondenza tra sottospazi proiettivi non contenuti in H(0) e sottospazi affini di A(n) (chiusura proiettiva di un sottospazio affine). Esempio di due rette affini parallele le cui chiusure proiettive sono incidenti in un punto di H(0) (Terminologia storica: due rette parallele si incontrano in un punto all'infinito).
Riferimento. [G1] Sez. 24 eccetto Esempio/Osservazione 5. Sez. 25 : prime tre pagine (fino a Teorema 25.1 escluso) e Esempio/Osservazione n.4 (pag. 325-328 della seconda edizione).
Esercizi. [G1] Sezione 24. Esercizi 1,2,3,5, 7,8,9. Sezione 25: esercizi: 1, 2, 3, 4, 5.

28/5 (2 ore) Identificazione fra P(n)-H(i) e lo spazio affine A(n), dove H(i) e' l'iperpiano di P(n) di equazione X(i)=0 (analogamente al caso i=0 illustrato venerdi scorso) e, conseguentemente, corrispondenza biunivoca tra sottospazi lineari di P(n) non contenuti nell'iperpiano H(i) e sottospazi affini di A(n). Questa corrispondenza e' ottnuta onogeneizzando/deomeogenizzando le equazioni rispetto all'indeterminata X(i).
Generalizzazione a: idenificazione tra P(n)-H, dove $H$ e' un iperpiano qualsiasi, e A(n), e conseguente corrispondenza biunivoca tra sottospazi lineari di P(n) non contenuti in H e sottospazi affini di A(n). Attenzione: Quest'ultima identificazione e' il contenuto del teorema 15.1 del libro (e definizioni precedenti ad esso). Pero' noi a lezione abbiamo trattato quest'argomento in modo piu' semplice (ma meno preciso) usando il fatto che ci si puo' sempre ricondurre, usando un cambiamento di coordinate, al caso in cui H e' definito dall'equazione X(0)=0.
Punti in posizione generale. Riferimenti proiettivi: sono determinati da n+2 punti in posizione generale.
Riferimento. Riferimenti proiettivi: [G1] Sez. 24, Esempio/Osservazione 4.
Il resto: Sez. 25 : tutta escluso teorema di Pappo-Pascal ed esclusi Esempi/Osservazioni n.2,5,6.
Esercizi. [G1] Sezione 24. Esercizi 1,2,3,5, 7,8,9. Sezione 25: esercizi: 1, 2, 3, 4, 5.
Esercizi: file n.14.

29/5 (2 ore) Tutoraggio Prof. Tovena.

30/5 (2 ore) Cambiamenti di coordinate proiettive. Gruppo delle proiettivita' PGL(V). Isomorfismo di gruppi PGL(V)=GL(V)/omotetie. Teorema: dati due insiemi ordinati di n+2 punti in posizione generale esiste un unico isomorfismo di spazi proiettivi che manda il primo nel secondo.
Riferimento. [G1] Sez. 27. fino a Prop. 27.4 compresa.
Esercizi. [G1] Sezione 27. Esercizi: 1, 2, 3, 4.

1/6 (2 ore) Curve proiettive in P(2). Equivalenza di curve proiettive in P(2).
Coniche proiettive e coniche affini. Classificazione delle coniche proiettive: forme canoniche. Relazione con la classificazione affine delle forme quadratiche in tre variabili. Relazione con la classificazione affine delle coniche affini. Il caso in cui il campo e' reale e il caso in cui il campo e' algebricamente chiuso.
Riferimento. [G1] Sez. 28 e Sezione 30. Inoltre alcune osservazioni sulla relazione tra coniche proiettive e coniche affini si trovano nella sezione, sulle coniche affini (sezione 31), gia' studiata.
Esercizi. [G1] Sezione 28: Esercizi: 1, 2, 3. Sezione 30: Esercizi 1, 2. Sezione 31: Esercizio 2.

4/6 (2 ore) Spazio proiettivo duale. Corrispondenza tra sottospazi lineari di dimensione k in P(n) e sottospazi lineari di dimensione n-k-1 in P(n)-duale..
Sistemi lineari di coniche: per 5 punti in posizione generale in P(2) passa un'unica conica.
Riferimento. Dualita': [G1] sezione 26, tutta, compresi complementi, ma escluso il Teorema di Pappo-Pascal.
Esercizi. [G1] Sezione 26: Esercizi 1 e 2.
Esercizi: file n.15.

5/6 (2 ore) Esercizi di ripasso su: affinita', cambiamenti di coordinate affini, prodotti scalari, endomorfismisimmetrici, teorema spettrale.

6/6 (2 ore) Esercizi di ripasso su: diagonalizzazione, forma normale di Jordan, isometrie (rotazioni, riflessioni, glissoriflessioni...), geometria negli spazi proiettivi (rette sghembe, rette incidenti e piano da esse generato, piano generato da un punto ed una retta, retta passante per un punto e incidente due rette date...)

Materiale didattico (i files si trovano al sito didattica web link )
  • Files di teoria

    File n.1. Dimostrazione un po' piu' facile del teorema di Cayley-Hamilton Postato il 16/4.

    File n. 2. Forma normale di Jordan. Attenzione! File ripostato il 4/4 con correzioni di alcuni errori di stampa e di un errore nell'ultimo esempio. N.B.: Nella fretta a lezione non me ne sono accorto e ho fatto lo stesso errore. Gia' che c'ero ho aggiunto alcuni commenti a quell'esempio. Ripostato ancora il 16/4 in versione un po' migliorata e piu' leggibile (spero).

    File n.3. Classificazione delle isometrie in dimensione 2 e 3. Postato il 21/4. Questo e' un po' teoria e un po' complementi/elementi di storia, perche' contiene anche la dimostrazione della classificazione delle isometrie in dimensione 3, che non ho fatto a lezione (e quindi non e' nel programma).

    • Files di esercizi (Attenzione! Controllare sempre l'ultima versione. Se si trova qualche errore i files vengono corretti)

      File n. 1. Spazi vettoriali quoziente. Indicazione delle soluzioni.

      File n. 2. Spazi vettoriali duali. Con indicazione delle soluzioni.

      File n. 3. Spazi vettoriali duali (continuazione). Con indicazione delle soluzioni.

      File n. 4. Autovalori, autovettori, diagonalizzazione I. Con indicazione delle soluzioni.

      File n. 5. Autovalori, autovettori, diagonalizzazione II. Con indicazione delle soluzioni.

      File n. 6. Ancora diagonalizzazione. Triangolarizzazione. Th. Cayley-Hamilton. Forma di Jordan nel caso nilpotente. Con indicazione delle soluzioni. File aggiunto: soluzioni degli esercizi 1 e 2.

      File n.7. Forma normale di Jordan. Prodotti scalari. Spazi vettoriali euclidei I. Con indicazione delle soluzioni.

      File n.8. Spazi vettoriali euclidei II. Con indicazione delle soluzioni. Successivamente (16/5) corretto il risultato di un esercizio (grazie alle studentesse che me l'hanno segnalato) e aggiunta una spiegazione.

      File n.9. Spazi euclidei. Isometrie. Con indicazione delle soluzioni. Aggiunte le soluzioni degli esercizi dal n. 8 al n. 12 (postato il 24/5).

      File n.10. Forme bilineari. Forme quadratiche. Con indicazione delle soluzioni.

      File n.11. Forme quadratiche. Teorema spettrale per matrici simmetriche.

      File n.12. Forme quadratiche. Coniche. Con indicazione delle soluzioni. Aggiunte le soluzioni dell'esercizio n.9(b)(c) (postato il 23/5). Con indicazione delle soluzioni.

      File n. 13. Coniche. Geometria euclidea complessa. Con indicazione delle soluzioni.

      File n. 14. Geometria negli spazi proiettivi. Con indicazione delle soluzioni.

      File n. 15. Geometria negli spazi proiettivi 2.