Prof. Giuseppe Pareschi


Department of Mathematics

Viale della Ricerca Scientifica 1, 00133, Roma, IT

Stanza: 0212

Telefono: 06 72594621

pareschi@mat.uniroma2.it





GEOMETRIA ALGEBRICA (Laurea Magistrale in Matematica, Anno 2012-'13, secondo semestre, 4 marzo 2013 - 7 giugno 2013)

Docente : Prof. Giuseppe Pareschi

Orario : (inizio Lunedi 4 marzo)

AVVISI: AVVISO URGENTE! La lezione di oggi, Lunedi 3 giugno, e' annullata (avviso pubblicato lunedi 3 giugno alle 7.30).

Il Corso


Diario delle lezioni:

  • Prima settimana (4 - 10- marzo):
    Argomenti trattati: Topologia di Zariski su A(n). Teorema degli zeri di Hilbert. Corrispondenza tra sottoinsiemi algebrici e ideali radicali. Decomposizione in sottoinsiemi algebrici irriducibili(= varieta' affini). Anello delle coordinate affini. Dimensione (cenni). Funzioni regolari. Morfismi tra varieta' quasi-affini. Germi di funzioni regolari in un punto. Campo delle funzioni razionali. Corrispondenza (varieta' affini)-k-algebre finitamente generate. Spettro massimale di una k-algebra finitamente generata.
    Riferimenti: [11] Ch I, Sez.1. e Sez. 3 (esclusa la parte sulle varieta' proiettive e quasi-proiettive). Ch. II, Sez. 2 (cenni). Per il teorema degli zeri di Hilbert: Atiyah-Macdonald: Cap. 7 p. 124-125 e Esercizio 14. Per il grado di trascendenza: Lang, Ch X, Sez 1.
    Esercizi: [11] Cap I, Sez. 1, Esercizi 1.1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.9. Sez. 3: Esercizi 3.1 (a),(b), 3.2. Inoltre:
    Completare i dettagli della dimostrazione dell'esistenza e unicita' della decomposizione finita in irriducibili.
    Completare i dettagli della dimostrazione della biettivita' tra {morfismi tra varieta' affini X e Y} e {morfismi di k-algebre tra A(Y) e A(X)}.

  • Seconda settimana (11 - 16- marzo):
    Argomenti trattati: Categorie e funtori. Funtori pienamente fedeli (fully faithful) e equivalenze di categorie. Aperti affini D(f) in una varieta' affine. Varieta' quasi-affini non affini. Prodotto di varieta' affini e prodotto tensoriale di algebre. Gruppi algebrici affini (definizione e qualche esempio). Tori. Varieta' toriche affini (vta). Parametrizzazione di vta (sottiensieme finito del reticolo dei caratteri di un toro). Ideali di vta (ideali binomiali). Anello delle coordinate di vta (algebre-semigruppo).
    Riferimenti: [1], Sez. 1.0 e 1.1. Categorie e funtori: le prime due pagine di: Huybrechts, Fourier-Mukai transforms in algebriac geometry, Oxford (2006) (e' in biblioteca).
    Esercizi: [11] Cap I, Sez. 3, Esercizi 3.3, 3.6, 3.10, 3.11, 3.12, 3.13. 3.15. 3.19, 3.21 Sez. 3: Esercizi 3.1 (a),(b), 3.2.
    [1] Sez. 1.1: Esercizi 1.1.1, 1.1.5, 1.1.6 1.1.14

  • Terza settimana (17 - 23 marzo):
    Argomenti trattati: Spazio tangente di Zariski. Punti lisci. Il luogo dei punti singolari e' un chiuso. Mappe razionali. Birazionalita'. Ogni varieta' quasi-affine e' birazionale a una ipersuperfice. Anelli e varieta' normali. Anelli e varieta' fattoriali. Coni poliedrali convessi e prime proprieta'.
    Riferimenti: Spazio tangente, chiuso dei punti singolari: [11] Cap. I, sez. 5. Mappe razionali e birazionalita': [11] Cap. I Sez. 4 (eccetto Blowing Up). Coni poliedrali convessi: [2] Sez. 1.2 fino a (8). Vedi anche [1], Sez. 1.2 fino a 1.2.8.
    Esercizi: [11] Cap I, Sez. 4, Esercizi 4.1, 4.2, 4.7. Sez. 5.1, 5.2.
    [1] Sez. 1.2: Esercizi 1.2.7, 1.2.11

  • Quarta settimana (solo 25 e 27 marzo):
    Argomenti trattati: Proprieta' di coni poliedrali convessi (continuazione). Coni poliedrali convessi razionali. Semigruppi associati a coni convessi poliedrali razionali e corrispondenti varieta' toriche affini. Punti=omomorfismi di semigruppo. Azione del toro e punto fisso. Varieta' toriche affini normali.
    Riferimenti: Coni e semigruppi [1] tutta la sezione 1.2 e [2], Sez. 1.2. Varieta' toriche affini associate: [1] Sezione 1.3. fino a Th 1.3.5. [2] Sezione 1.3
    Esercizi: [1] Sez. 1.2: Esercizi 1.2.13, 1.2.14. Sez. 1.3: Esempi 1.3.6, 1.3.7, 1.3.9. Esercizi 1.3.2, 1.3.4 e 1.3.5 (molto consigliato). Inoltre: dimostrare che lo spazio tangente di Zariski di un prodotto di varieta' quasi-affini e' isomorfo al prodotto (cartesiano) degli spazi tangenti.

  • Quinta settimana (solo 3 aprile):
    Argomenti trattati: Esempi di varieta' affini toriche normali e di normalizzazione. Varieta' affini toriche lisce.
    Riferimenti: [1] p.39-41
    Esercizi: [1] Sez. 1.3: Esercizi 1.3.13, 1.3.14

  • Sesta settimana ( 8 - 13 aprile):
    Argomenti trattati: Morfismi torici. Facce di un cono e aperti affini della corrispondente varieta' torica affine. Quozienti di varieta' toriche affine ottenute usando lo stesso cono e cambiando il reticolo. Coni simpliciali e singolarita' quozienti. Il caso delle superfici.
    Varieta' proiettive e ideali omogenei. Funzioni regolari. Morfismi. Germi di funzioni regolari e campo delle funzioni razionali. Aperti affini "standard" di P(n) e di varieta' proiettive.
    Riferimenti: Varieta' toriche: [2] Sez. 2.2 fino a p. 35, e [1] p.41-46 e sez. 10.1. Varieta'proiettive: [11] Cap. 1 Sez. 2, Sez. 3 e Sez. 4 (eccetto scoppiamenti).
    Esercizi: [1] Sez. 1.3: Prop. 1.3.14 e Prop. 1.3.15. [2] Sez. 2.2: Esercizi a p. 35. [11] Sez. 2: Es 2.1-2.11. Sez. 3: Es. 3.1. 3.3, 3.5, 3.7, 3.8, 3.10., 3.11, 3.12, 3.14. 3.20. Sez. 4: Es. 4.1- 4.7. Inoltre: - Reticoli: dimostrare che se N e' un reticolo e R e' un suo sottoreticolo di indice finito, si puo' trovare una Z-base di N, f(1),...f(n) tale che, m(1)f(1),...,m(n)f(n) e' una Z-base di R, per opportuni interi positivi m(i).
    - Invarianti: sia A una k-algebra finitamente generata, su cui un gruppo G ha un'azione di k-algebre, tale che la k-algebra degli elementi invarianti A' e' finitamente generata. Dimostare che G agisce algebricamente su Specmax(A) e che Specmax(A)/G=Specmax(A') (k e' un campo algebricamente chiuso).

  • Settima settimana ( Solo 16 e 17 aprile):
    Argomenti trattati: Spazio tangente e non-singolarita' di varieta' proiettive. Esempio: ipersuperfici quadriche. Prodotto di Segre di due spazi proiettivi. Prodotto di sue varieta'. La proiezione da XxY a Y e' chiusa se X e' proiettiva. L'immagine di un morfismo definito su una varieta'' proiettiva e' un chiuso. Applicazioni, tra cui: le funzioni regolari su una varieta' proiettiva sono solo le costanti. Morfismo di veronese ed equazioni delle varieta' di Veronese.
    Riferimenti: Spazio tangente e non-singolarita': [11] Cap. 1, Sez. 5 e Es. 5.8. Quadriche: [11] Es. 2.15, 5.12. Prodotti etc.: [7] Vol. I, Sez. 5.1 e 5.2, [8], Sez. 2B e 2C (fino a p. 35), [11] Ex. 2.14, 2.15, 3.16. Varieta' di Veronese: [11], Ex.2.12
    Esercizi: [11] Sez. 2: Es. 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.16 Sez. 3: Es. 3.15, 3.17, 3.20 Sez. 5: 5.1, 5.7, 5.8, 5.9, 5.10, 5.11, 5.12, 5.15.

  • Ottava settimana ( 21 - 27 aprile aprile):
    Argomenti trattati: Spazi con funzioni e (pre)varieta' astratte. Definizione di fascio. Incollamento di due varieta' astratte. Incollamento di una famiglia di varieta' astratte. Generalita' su limiti diretti e inversi. Prodotto di due varieta' astratte. Varieta' separate e criterio di separazione. Varieta' complete: una varieta' quasi-proiettiva completa e' proiettiva. Varieta' astratte toriche associate a un ventaglio. Sono separate (lemma di separazione per coni che si intersecano in una faccia). Esempi. Ventagli prodotto e varieta' prodotto.
    Riferimenti: Varieta' astratte, incollamenti, prodotti etc.: [1] Sez. 3.0 e [7], Vol. 2, sez. V.3.2, V.4.1, V.4.3 , V.5.1.1.1 , V.2.2.3 (cenni). Varieta' toriche: [2] Sez. 1.1 e 1.4. [1] Sez. 3.1.
    Esercizi: [2] Primo esercizio a p.22. [1] 3.0.2, 3.0.7. 3.1.4, 3.1.7

  • Nona settimana ( 29 - 30 aprile):
    Argomenti trattati: Altri esempi di varieta' toriche: le superfici F(a). Generalita' su fibrati vettoriali (algebrici). Fibrato tautologico di uno spazio proiettivo. Corrispondenza tra fibrati vettoriali e O(X)_moduli localmente liberi. Alcune generalita' su prefasci e fasci di gruppi abeliani (fascio associato ad un prefascio, isomorfismo di fasci = isomorfismo delle spighe, successione esatte corte di fasci).
    Riferimenti: Fibrati vettoriali e fasci localmente liberi etc.: [7], Vol. 2, sez. VI 1.3 e 1.4. Fasci: [11] Cap. 2 Sez. 1.
    Esercizi: [11]: Cap II, Es. 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.22, 5.1 (eccetto (d)), 5.16.

  • Decima settimana ( 6 - 11 maggio):
    Argomenti trattati: Il gruppo di Picard (fasci localmente liberi di rango uno modulo isomorfismo). Divisori di Weil modulo equivalenza lineare. Divisori di Cartier modulo equivalenza lineare. Isomorfismo tra il gruppo delle classi di divisori e Pic(X). Divisori e gruppo di Picard di A(n) e P(n). Sezioni globali di un fascio invertibile e divisori effettivi. Luogo di indeterminazione di mappe razionali da varieta' proiettive lisce (ha codimensione > 1). Applicazione alle curve. lisce. La corrispondenza associata a una mappa razionale. Esempi: proiezione di spazi proiettivi. Trasformazione quadratica di P(2).
    Riferimenti: Divisori e fasci invertibili: Shafarevich: [7] Vol. I, Cap. III, Sezioni 1.1, 1.2. [7] Vol. 2 Cap. VI, Sez. 1.4. Hartshorne: [11] Cap. II, Sez. 6, Parti iniziali delle sottosezioni: "Weil divisors", "Cartier divisors". Tutta la sottosezione: "invertible sheaves". Sez. 7: Prop. 7.7 a p.157.
    Mappe razionali: [7] Vol. I, Cap. III, Sez. 1.4. [8], Sez. 2B da 2.16 in poi. [11] Cap. V p.398.
    Esercizi: [11]: Cap II, Sez. 6, Prop. 6.5 e i successivi Esempi 6.5.1, 6.5.2, Prop. 6.6 e i successivi esempi 6.6.1, 6.6.2, 6.6.3. Es. 6.1, 6.2, 6.3, 6.5 (eccetto (a)). [7] Vol. 2 Cap. IV, Esercizi al sottocapitolo 1: n.10, 11, 12.

  • Undicesima settimana ( solo 13 e 15 maggio) maggio):
    Argomenti trattati: Sottogruppi a un parametro. Limiti di sottogruppi a un parametro. Punti speciali.
    Corrispondenza orbite - coni. Chiusura delle orbite. Riferimenti: [2] Sezioni 2.3 e 3.1, oppure [1] Sezione 3.2.
    Esercizi: [1] ES. 3.2.3. [2] Esercizi della Sezione 3.1.

  • Dodicesima settimana ( 20 - 25 maggio) maggio):
    Argomenti trattati: Divisori di Weil e di Cartier e gruppi delle classi su varieta' toriche.
    Riferimenti: [1] Sezioni 4.1 e 4.2, oppure [2] Sezione 3.3.
    Esercizi: [1] ES. 4.1.1 e 4.1.2 [2] Esercizi della Sezione 3.3.

  • Tredicesima settimana ( solo 27 e 29 maggio) maggio):
    Argomenti trattati: Dati di Cartier e funzione supporto di un divisore T-invariante, e loro equivalenza. Esempio di una varieta' torica completa (singolare) con Pic=0. Lo spazio vettoriale delle sezioni globali di un fascio invertibile su una varieta' torica, e il poliedro associato.
    Sistemi lineari e mappe ad uno spazio proiettivo. Riferimenti: Dati di Cartier eccetera: [1] Sezioni 4.2 e 4.3.
    Sistemi lineari: [1] Sez. 6.0 (p. 257-260), oppure: [11] cap. II, Thm 7.1, oppure [7] Cap. III, Sez. 1.5, oppure [10[ Sezione 6A.
    Esercizi: Divisori di cartier eccetera: [1] Es. 4.2.9, 4.2.10, 4.2.13, 4.3.5. [2] Esercizi a p. 69. Sistemi lineari: [11] Cap. II, es. 7.7, [7], Sistemi lineari O(m) su ipersuperfici di P(n): esempio della Sezione 1.5 (p. 163).




Materiale didattico e bibliografico: