[E] = "Partial Differential Equations" - Second Edition di L.C. Evans, 2010.
[AP] = "A Primer of Nonlinear Analysis" di A. Ambrosetti e G. Prodi.
[S] = "Variational Methods" di M. Struwe, IV edizione, 2008.
- Lunedì 30 settembre - I: Presentazione del corso. Definizione di equazioni alle derivate parziali lineari, semilineari, quasilineari, completamente nonlineari ed esempi. Soluzioni classiche e problematica di esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati. [Capitolo 1 di [E]]
- Mercoledì 2 ottobre - II: Richiami sui teoremi di Gauss-Green, Green e divergenza. Equazione del trasporto lineare omogenea e non-omogenea [2.1 [E]]. Equazione di Laplace: interpretazione fisica, costruzione della soluzione fondamentale su R^n [2.2.1 [E]].
- Venerdì 4 ottobre - III: Soluzione dell'equazione di Poisson intera [2.2.1 [E]]. Proprietà del valor medio per funzioni armoniche e principio del massimo [2.2.2 [E]].
- Lunedì 7 ottobre - IV: La proprietà della media integrale sulle sfere è equivalente a quella sulle palle. Richiamo alla definizione di regolarità del bordo di un aperto in R^n [C.1 [E]]. Principio del massimo per equazioni armoniche [2.2.2 [E]]. Unicità delle soluzioni dell'equazione di Poisson [2.2.3 [E]], regolarità di funzioni che verificano la proprietà del valor medio, con introduzione all'uso dei mollificatori [C.5 [E]].
- Mercoledì 9 ottobre - V: Stima delle derivate per funzioni armoniche e Teorema di Liouville, formula di rappresentazione per soluzioni limitate dell'equazione di Poisson [2.2.3 [E]]. Introduzione alla funzione di Green e sua definizione [2.2.4 [E]]. Simmetria della funzione di Green (non dimostrato). Metodi di "energia" [2.2.5 [E]].
- Venerdì 11 ottobre - VI: Teorema di Harnack [2.2.3 [E]]. Equazione del calore: motivazione fisica [2.3 [E]]. Equazione del calore: soluzione fondamentale e soluzione del problema ai valori iniziali per l'equazione omogenea (enunciato, interpretazione intuitiva e osservazioni) [2.3.1 [E]].
- Lunedì 14 ottobre - VII: Equazione del calore: dimostrazione della formula di rappresentazione per il problema ai valori iniziali per l'equazione omogenea [2.3.1 [E]]; soluzione dell'equazione del calore non omogenea [2.3.1 [E]].
- Mercoledì 16 ottobre - VIII: Media integrale e principio del massimo per l'equazione del calore, unicità delle soluzioni dell'equazione del calore sia nel caso dominio spaziale limitato che tutto Rn [2.3.2 e 2.3.3 [E]].
- Venerdì 18 ottobre - IX: Regolarità e stima delle derivate per le soluzioni dell'equazione del calore [2.3.3 [E]]. Metodi di energia [2.3.4 [E]].
- Lunedì 21 ottobre - X: Equazione delle onde, motivazioni fisiche e caso unidimensionale [2.4.1 [E]]. Equazione delle onde: metodo della riflessione su una semiretta, equazione di Eulero-Poisson-Darboux [2.4.1 [E]].
- Venerdì 25 ottobre - XI: Equazione delle onde: soluzione dell'equazione omogenea su Rn per n=2,3 ed n dispari [2.4.1 [E]].
- Lunedì 28 ottobre - XII: Equazione delle onde: soluzione dell'equazione omogenea su Rn per n>3 pari [2.4.1 [E]]. Problemi non omogenei [2.4.2 [E]]. Metodi di energia per l'equazione delle onde [2.4.3 [E]].
- Mercoledì 30 ottobre - XIII: Richiami/anticipi su spazi di Lebesgue [capitolo 5 [E]].
- Lunedì 4 novembre - XIV: Richiami/anticipi su spazi di Sobolev - I [capitolo 5 [E]].
- Mercoledì 6 novembre - XV: Richiami/anticipi su spazi di Sobolev - II [capitolo 5 [E]].
- Venerdì 8 novembre - XVI: Osservazioni ed esercizi su spazi di Lebesgue e di Sobolev. Definizione di soluzioni deboli per equazioni del secondo ordine ellittiche lineari e formulazione debole [6.1 e 6.2 [E]].
- Lunedì 11 novembre - XVII: Teorema di Lax-Milgram ed applicazioni all'esistenza di soluzioni deboli per equazioni ellittiche lineari, lettura astratta via Lax-Milgram di equazioni ellittiche lineari "coercive" [6.2 [E]].
- Mercoledì 13 novembre - XVIII: Introduzione allo spettro di un operatore compatto ed alternativa di Fredholm, Nozioni sulla convergenza debole in spazi di Banach, continuità L2 per il risolvente di un'equazione ellittica senza risonanza: enunciato [6.2 [E]].
- Venerdì 15 novembre - XIX: Continuità L2 per il risolvente di un'equazione ellittica senza risonanza: dimostrazione con dettaglio dei conti [6.2 [E]]. Risultati di regolarità [6.3 [E]]. Principi del massimo per operatori ellittici e Lemma di Hopf [6.4 [E]]. Autovalori per operatori tipo Laplaciano [6.5 [E]].
- Lunedì 18 novembre - XX: Introduzione al Calcolo delle Variazioni: variazione prima ed equazione di Eulero-Lagrange, esempi [8.1 [E]]. Problemi agli autovalori non lineari: vincoli [8.4 [E]]. Esistenza di minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange [8.4 [E]].
- Mercoledì 20 novembre - XXI: Moltiplicatori di Lagrange ed applicazioni a PDE nonlineari [8.4 [E]]. Soluzione dell'equazione di Laplace con nonlinearità omogenea polinomiale e sottocritica. Caratterizzazione variazionale del primo autovalore dell'operatore di Laplace, esso è semplice e l'autovettore corrispondente ha segno costante. Vincoli unilaterali [8.4 [E]].
- Venerdì 22 novembre - XXII: Vincoli unilaterali e disequazioni variazionali [8.4 [E]]. Esistenza di soluzioni tra soprasoluzione e sottosoluzioni [9.3 [E]].
- Lunedì 25 novembre - XXIII: Principio del massimo per l'equazione del calore [7.1 [E]], fenomeni di blow-up per equazione del calore nonlineari con dimostrazione nel caso di nonlinearità quadratica; nonesistenza di soluzioni per il problema ellittico nonlineare modello a crescita critica e sopracritica ed enunciato identità di Pohozaev [9.4 [E]].
- Mercoledì 27 novembre - XXIV: Dimostrazione identità di Pohozaev [9.4 [E]]. Esercizi su esistenza di soluzione per alcune equazioni ellittiche ed proprietà geometriche delle soluzioni di una di esse: insiemi di livello stellati [9.5 [E]]. Differenziale di Frechét per funzioni tra spazi di Banach: definizione, unicità ed esempi [1.1 [AP]].
- Venerdì 29 novembre - XXV: Invarianza del differenziale di Frechét per norme equivalenti, regola della catena, definizione di funzionali ed operatori variazionali, gradiente e sua dipendenza dal prodotto scalare, differenziale di Gâteaux [1.1 [AP]].
- Lunedì 2 dicembre - XXVI: Calcolo differenziale: disuguaglianza di Lagrange, teorema del differenziale totale [1.1 [AP]].
- Mercoledì 4 dicembre - XXVII: Esempi di calcolo di derivate successive in spazi funzionali, teorema di inversione locale ed una applicazione ad equazioni differenziali (risultati perturbativi) [1.1 [AP]]. Operatori di Nemytskii - buona posizione [1.2 [AP]].
- Venerdì 6 dicembre - XXVIII: Operatori di Nemytskii - differenziabilità [1.2 [AP]].
- Lunedì 9 dicembre - XXIX: Operatori di Nemytskii - casi particolari [1.2 [AP]]. Impostazioni variazionale per equazioni ellittiche non autonome sotto opportune ipotesi di crescita. Esistenza di soluzioni per equazioni ellittiche con nonlinearità sottolineare.
- Mercoledì 11 dicembre - XXX: Introduzione ai metodi topologici nel calcolo delle variazioni: condizione di Palais-Smale e Lemma di Deformazione [II.2 e II.3 [S]] ed [8.5 [E]].
- Martedì 17 dicembre - XXXI: Teorema del passo montano, Lemma di compattezza per nonlinearità sottocritiche su aperti limitati. [II.6 [S]] e [8.5 [E]].
- Mercoledì 18 dicembre - XXXII: Proposizione astratta sulla validità della (PS) per operatori del tipo applicazione lineare continua invertibile più operatore compatto, applicazione del teorema di passo montano ad equazioni ellittiche [II.6 [S]] e [8.5 [E]]
- Giovedì 19 dicembre - XXXIII: Introduzione alle varietà di Nehari e ai problemi su domini illimitati.
FINE CORSO