PROGRAMMA CORSO DI SISTEMI DINAMICI (CMF2) 2005-2006

PROGRAMMA

  • Richiami di teroria qualitativa delle equazioni differenziali: esistenza ed unictà globale delle soluzioni per campi vettoriali C^1 e limitati. Studio del comportamento qualitativo delle soluzioni di una equazione differenziale sul piano attraverso lo studio delle direzioni del campo vettoriale.
  • Teorema della scatola del flusso. Persistenza dei punti di equilibrio sotto perturbazioni.
  • Concetto di genericità. Classificazione dei punti di equilibrio generici. Stabilià e funzioni di Lyapuov. Teorema di Grobman-Hartmann sulla coniugabilità C^0 del flusso alla sua parte lineare nell'intorno di un punto di equilibrio generico.
  • Famiglie di campi vettoriali dipendenti da parametri. Esempi basilari di biforcazioni: sella-nodo, Hopf.
  • Teorema di Poincarè -Bendixon. Sezioni di Poincarè e Sistemi Dinamici discreti.
  • Stabilità rivisitata: Hadamard-Perron e teorema di Siegel.
  • Comportamento globale non banale, un esempio: pendolo forzato e moti caotici (Melnikov e i ferri di cavallo).
  • Comportamento per tempi lunghi, instabilità rispetto alle condizioni iniziali e sistemi dinamici misurabili (definizioni ed esempi elementari, esistenza delle misure invarianti: Krylov-Bogoliuvov, metodo di coniugazione--dinamica simbolica, mappa logistca).
  • Mappe lisce espansive del cerchio e loro proprietà statistiche (un esempio meno elementare).
  • Cenni di teoria ergodica (teoremi di Birkhoff, Von Neumann, Poincarè, ergodictà, mescolamento, ...).
  • Cenni ai sistemi iperbolici (gatto di Arnold)
  • Caos e proprietà statistiche (chiacchere).

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