Fisica Matematica 1, 2014-2015

Prof. C. Liverani

SECONDO Anno - II Semestre - 8 CFU

LEZIONI

  1. 2/3/15   Modelli matematici della "realtà". Legge di gravitazione universale per due punti materiali. Forza prodotta da un corpo esteso ipotizzando che sia formato da punti materiali disposti su di un reticolo cubico di passo arbitrariamente piccolo. Forza di gravità della terra su di un punto posto vicino alla sua superficie.
  2. 3/3/15   Calcolo della forza di gravità della terra su di un punto posto vicino alla sua superficie (assumendo la densità terrestre con simmetria sferica).
  3. 5/3/15   Composizione delle forze nella meccanica Newtoniana. Moto di un grave sulla superficie terrestre e relazione con la balistica (sigh). Teorema di esistenza e unicità per le equazioni differenziali (solo enunciato), con esempi.
  4. 6/3/15   Disuguaglianza di Gronwall. Equazioni differenziali con soluzioni per tutti i tempi. Equazioni differenziali lineari (matrice esponenziale).
  5. 12/3/15   Studio qualitativo ingenuo delle equazioni differenziali in una e due dimensioni.
  6. 13/3/15   Dipendenza liscia da un parametro o dalle condizioni iniziali.
  7. 16/3/15   Dipendenza liscia delle soluzioni di una equazione differenziale dalla condizione iniziale. Comportamento di una equazione differenziale vicino ad un punto linearmente atrattivo (persistenza dei punti di equilibrio asintoticamente stabili).
  8. 20/3/15   Funzioni e teorema di Lyapunov nel caso di derivata sempre non nulla fuori dal punto di equilibrio. Teorema di Liouville.
  9. 23/3/15   Energia come funzione di Lyapunov.
  10. 27/3/15   Aristotele contro Newton (risultato: 1-1).
  11. 30/3/15   Oscillazioni in un potenziale convesso (il caso unidimensionale).
  12. 7/4/15   Piccole oscillazioni in un potenziale convesso (il caso unidimensionale e il pendolo).
  13. 10/4/15   Moti forzati periodicamente e fenomeno della risonanza. Moto nel caso di forze rapidamente oscillanti: teorema della media.
  14. 21/4/15   Moto di un pendolo attaccato ad una molla estremamente rigida come esempio di sistema vincolato.
  15. 24/4/15   Vincoli reali e ideali. Principio dei lavori virtuali ed equazioni cardinali della meccanica.
  16. 27/4/15   Langrangiana e equazioni di Lagrange. Cambio di variabili nelle equazioni di Newton versus cambio di variabili nella Lagrangiana.
  17. 30/4/15   Principio di minima azione e rudimenti di calcolo delle variazioni. Equazioni di Lagrange come punti stazionari dell'Azione.
  18. 4/5/15   Relazione tra il problema di Cauchy e le equazioni che determinano i punti stazionari dell'azione. Condizioni sotto cui i punti stazionari sono minimi dell'azione.
  19. 8/5/15   Rudimenti di meccanica hamiltoniana (trasformata di Legendre, Equazioni di Hamilton, Hamiltoniana come integrale del moto e applicazione del Teorema di Liouville)
  20. 18/5/15   Teorema di Noether. Esempi: traslazioni e rotazioni.
  21. 22/5/15   Punti fissi delle equazioni Lagrangiane e punti stazionari del potenziale. Stabilità dei punti fissi corrispondenti ai minimi del potenziale. Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabile. Equazioni Hamiltoniane per le piccole oscillazioni. Matrici simplettiche.
  22. 25/5/15   Trasformazioni canoniche e simplettiche (completamenre canoniche). Flussi Hamiltoniani come trasformazioni simplettiche. Funzioni generatrici.