Prof. C. Liverani
SECONDO Anno - II Semestre - 8 CFU
LEZIONI
3/3/14 Modelli matematici della realtà. Stabilià del segmento di parabola immerso nell'acqua (tratto dai Galleggianti di Archimede) come modelo di stabilità di una nave. Modello del moto di un punto materiale (derivato dai Pimcipia di Newton).
4/3/14 Legge di gravitazione universale per due punti materiali. Forza prodotta da un corpo esteso ipotizzando che sia formato da punti materiali disposti su di un reticolo cubico di passo arbitrariamente piccolo. Forza di gravità della terra su di un punto posto vicino alla sua superficie.
6/3/14 Concetto di densià di un corpo materiale esteso. Forza di gravità della terra su di un punto posto vicino alla sua superficie (assumendo la densità terrestre con simmetria sferica) e relazione con la geologia. Composizione delle forze nella meccanica Newtoniana. Moto di un grave sulla superficie terrestre e relazione con la balistica (sigh).
7/3/14 Moto di n corpi soggetti alla forza di gravità. Conservazione del centro di massa e sistema di riferimento inerziale associato al centro di massa. Caso di un corpo con massa molto più grande di quella degli altri corpi e approssimazione corrispondente delle equazioni differenziali. Moto di un corpo in un potenziale centrale. Conservazione del momento angolare. Riduzione al caso planare. Equazioni del moto in coordiante polari, riduzione ad un moto unidimensionale per la componente radiale. Conservazione della energia.
11/3/14 Enuciato del teorema di esistenza e unicità per le equazioni differenziali ordinarie. Discussione delle ipotesi di detto teorema. Condizioni che permettono l'estensione dell'intervalo di definizione della soluzione. Lemma di Gronwall.
14/3/14 Equazioni differenziali lineari. Esponenziale di una matrice. Esistenza della soluzione per tutti i tempi per sistemi lineari dipendenti dal tempo.
18/3/14 Soluzione delle equazioni differenziali lineari inomogenee. Studio qualitativo ingenuo delle equazioni differenziali (grafico delle soluzioni attraverso lo studio delle derivate). Riduzione delle equazioni bidimensionali al caso unidimensionale attraverso lo studio delle orbite.
21/3/14 Dipendenza liscia delle soluzioni di una equazione differenziale da un parametro.
25/3/14 Dipendenza liscia delle soluzioni di una equazione differenziale dalla condizione iniziale. Comportamento di una equazione differenziale vicino ad un punto linearmente atrattivo (persistenza dei punti di equilibrio asintoticamente stabili).
27/3/14 Teorema di Hadamard-Perron.
1/4/14 Teorema di Liouville.
8/4/14 Stabilità e stabilità asintotica di punti di minimo del potenziale. Moto periodico per potenziali unidimensionali.
8/4/14 Calcolo del periodo per piccole oscillazioni e correzioni al variare dell'ampiezza delle oscillazioni.
11/4/14 Moto Newtoniano nel limite di grandi attriti o piccole masse.
15/4/14 Moti forzati periodicamente e fenomeno della risonanza. Moto nel caso di forze rapidamente oscillanti: teorema della media.
24/4/14 Moto di un pendolo attaccato ad una molla estremamente rigida come esempio di sistema vincolato e motivazine del principio dei lavori virtuali.
29/4/14 Lagrangiana e equazioni di Lagrage.
9/5/14 Principio di minima azione e rudimenti di calcolo delle variazioni. Equazioni di Lagrange come punti stazionari dell'Azione.
9/5/14 Relazione tra il problema di Cauchy e le equazioni che determinano i punti stazionari dell'azione. Condizioni sotto cui i punti stazionari sono minimi dell'azione.
16/5/14 Teorema di Noether. Esempi: traslazioni e rotazioni.
20/5/14 Punti fissi delle equazioni Lagrangiane e punti stazionari del potenziale. Stabilità dei punti fissi corrispondenti ai minimi del potenziale. Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabile. Modi normali.
23/5/14 Stima della differenza tra il moto vero e l' approssimazione delle piccole oscillazioni per tempi lunghi (dipendenti dalla piccolezza dell'energia).
27/5/14 Lagrangiana della corda vibrante ed equazione delle onde.