Analisi Matematica I

Correzione Primo Appello

1. 
   

   -1-x < 2x-1 < 1+x

   da cui 2 > x > 0.
2. L'insieme A è l'interno della circonferenza di raggio uno centrata all'origine, B invece la parte del piano che giace sopra la bisettrice del primo e terzo quadrante. Il punto appartiene a C.
3. La funzione f si chiama coseno iperbolico, su qualunque libro trovate il grafico. Due soluzioni visto che la retta 1+x sta sopra il grafico di f nel punto zero mentre cresce molto piu lentamente all'infinito. Basta disegnare il grafico di f(x)-1-x per averne la controprova.

4. La lunghezza che si deve minimizzare è data da
   

   l(x) =   ____ Ö1+x2   +   _______ Ö1+(2-x)2   .

   Calcolando la derivata e ponendola eguale a zero si ottiene
   

   x   _______ Ö1+(2-x)2   +(x-2)   ____ Ö1+x2   = 0

   cioè
   

   x   _______ Ö1+(2-x)2   = -(x-2)   ____ Ö1+x2

   prendendo il quadrato di ambo i membri e semplificando si ha x = 1.

5. Poichè il numeratore é sempre minore di n segue che il limite è zero.

6. Si definisca f nell'intervallo [0,1] come ax³+bx²+c x+d. Ora per avere la continuità occorre f(0) = 0 e f(1) = 1, mentre per avere la differenziabilità occorre f¢(0) = 0 e f¢(1) = 1. da questo segue: d = 0, c = 0, a+b = 1, 3a+2b = 1. Cioè a = -1 e b = 2.