Programma

Sommatorie e serie numeriche. Sommatorie: definizione e semplici proprietà. Esempi notevoli di sommatorie, in particolare somma di n^p, formula di Stirling e somma di una progressione geometrica. Serie: somma di una serie, somme parziali, serie convergenti, divergenti e indeterminate. Serie a termini non negativi, e loro proprietà di essere convergenti o divergenti. Serie geometrica, serie armonica e serie armonica generalizzata. Relazione tra convergenza di una serie e convergenza a 0 del termine generale della serie. Linearità della somma di una serie. Criteri del confronto, del confronto asintotico, del rapporto, della radice, di condensazione e integrale, per serie a termini non negativi o positivi. Criterio di Cauchy per le serie. Serie a termini di segno variabile. Relazione tra convergenza assoluta di una serie e convergenza (semplice) della serie stessa. Criterio di Leibniz. Criteri del rapporto e della radice per serie a termini di segno variabile. Serie telescopiche. Cenno a relazione tra serie e sviluppo decimale di un numero. Cenno ai riordinamenti di una serie. Serie di numeri complessi. Serie di Taylor.

Spazi metrici. Spazi metrici ed esempi di metrica. Metrica euclidea. Norma (euclidea) in Rⁿ e relazione con la metrica. Basi e prodotto scalare in Rⁿ e Cⁿ. Disuguaglianza di Schwarz. Palle, sfere, insiemi aperti e insiemi chiusi. Interno, parte esterna, frontiera e chiusura di un insieme, insiemi limitati, e relative proprietà. Punti di accumulazione e isolati. Successioni e loro limiti in spazi metrici. Caratterizzazione della chiusura di un insieme e di un insieme chiuso mediante successioni in spazi metrici. Limiti di funzioni e funzioni continue in spazi metrici. Limiti in Rⁿ. Continuità di somma, prodotto, differenza e quoziente di funzioni continue a valori reali, della composizione di funzioni continue e delle funzioni costanti, e delle proiezioni e delle funzioni lineari in Rⁿ. Successioni di Cauchy, convergenti, limitate; le successioni convergenti sono limitate, e le successioni limitate hanno una estratta convergente. Insiemi compatti (per successioni) e caratterizzazione dei sottoinsiemi compatti di Rⁿ come insiemi chiusi e limitati. Funzioni uniformemente continue. Teoremi sulle funzioni continue sui compatti.

Calcolo differenziale in Rⁿ. Derivate parziali e direzionali e differenziabilità e relazione di tali nozioni con la continuità. Differenziabilità implica derivate direzionali, e scrittura di queste in base al gradiente. Funzioni C¹ . Piano tangente. Insiemi convessi, teorema di Lagrange sul segmento. Derivate di ordine superiore e funzioni C^k. Matrice hessiana, Teorema di Schwarz. Derivate direzionali di secondo ordine e relazione con matrice hessiana. Polinomio di Taylor del secondo ordine, e resto di Peano e di Lagrange. Punti di massimo e di minimo (assoluto e relativo); condizioni del primo ordine e punti stazionari, punti di sella; condizioni necessarie e condizioni sufficienti del secondo ordine in termini della matrice hessiana. Massimi e minimi vincolati e moltiplicatori di Lagrange. Calcolo differenziale e continuità per funzioni a valori vettoriali, in particolare derivate parziali e direzionali, differenziale. Matrice Jacobiana e suo uso per scrivere il differenziale, relazioni tra differenziabilità e continuità, e tra derivate prime continue e differenziabilità. Regola della catena e applicazioni.

Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioni, e loro relazione con continuità, derivata e integrale. Criterio di Cauchy uniforme. Convergenza totale e relazione tra convergenza uniforme di una serie di funzioni. Serie di potenze: insieme di convergenza, raggio di convergenza, integrazione termine a termine e derivazione termine a termine. Il raggio di convergenza di una serie di potenze è lo stesso di quello della serie delle derivate, convergenza uniforme in intervalli chiusi dentro il cerchio di convergenza. Serie di Taylor.

Curve e integrali curvilinei, forme differenziali. Curve, curve semplici, piane, chiuse, di Jordan. Teorema delle curve di Jordan (enunciato), orientazione di una curva di Jordan. Curve C¹, regolari, C¹ a tratti, regolari a tratti. Vettore tangente a una curva. Cambiamento di parametro in una curva. Integrali di funzioni a valori vettoriali, semplici proprietà, in particolare la norma dell'integrale è minore o uguale dell'integrale della norma. Lunghezza di una curva e formula per la lunghezza di una curva con integrale della norma della derivata. Curve rettificabili. Integrale curvilineo di prima specie, e invarianza della lunghezza e dell'integrale curvilineo per cambio di parametrzazione. Parametrizzazione per lunghezza d'arco. Integrale curvilineo di seconda specie e sua formulazione in termini di integrale di una forma differenziale. Invarianza (a meno del segno) di tale integrale per cambio di parametrizzazione. Forme differenziali esatte (o campi conservativi) e formulazione equivalenti: esistenza di una primitiva, integrali lungo cammini; costruzione di una primitiva (o potenziale). Forme differenziali chiuse (o campi irrotazionali), definizione di rotore per funzioni da R³ in R³. Ogni forma esatta è chiusa, ma non vale il viceversa. Definizione di curve omotope e di insieme semplicemente connesso. I convessi sono semplicemente connessi. L'integrale di una forma chiusa è invariante per omotopia (senza dimostrazione), in particolare sui semplicemente connessi ogni forma chiusa è esatta.

Integrali multipli e superficiali. Integrali doppi: definizione di integrale e di integrabilità su un rettangolo, ogni funzione continua su un rettangolo è integrabile, integrale delle funzioni costanti. Formula di riduzione per integrali di Riemann su un rettangolo. Definizione di integrale di Riemann di funzioni su un insieme limitato. Insiemi misurabili e insiemi di misura nulla e loro proprietà, in particolare un insieme &grave misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla. Proprietà delle funzioni integrabili su insiemi limitati. Domini normali e formula di riduzione degli integrali doppi su domini normali. Integrali su unioni quasi disgiunte di domini semplici. Integrali multipli. Formula del cambio di variabile in integrali multipli. Coordinate polari nel piano e nello spazio. Integrali (in una variabile) dipendenti da un parametro: continuità e derivata della funzione integrale. Formule di Green nel piano e nello spazio. Superfici e parametrizzazione di superfici, superfici regolari, punti interni e punti di bordo di una superficie. Piano tangente e normale ad una superficie regolare in un punto. Area di una superficie. Integrali superficiali. Versori normali ad una superficie regolare. Orientazioni di superfici e superfici orientabili, orientazione del bordo di una superficie. Flusso lungo una superficie e teorema della divergenza nello spazio. Teorema di Stokes.

Teoremi dell'inversione locale e delle funzioni implicite e conseguenze.

Equazioni differenziali. Teorema di esistenza e unicità. Intervalli massimali e Lemma di Gronwald. Dipendenza liscia da paramentri e condizioni iniziali. Sistemi di equazioni lineari. Equazioni di grado superiori. Elementi di studio qualitativo delle equazioni differenziali. Stabilità dei punti di equilibrio. Funzoni di Lyapunov.