Programma del corso di Analisi Matematica I

A.A. 2012/13

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Nozioni di base, introdotte prevalentemente nel corso delle prime lezioni.

· MATERIALE INTRODUTTIVO (materiale reperibile, per esempio, nel primo capitolo del Pagani-Salsa)
- Gli insiemi e le operazioni fondamentali sugli insiemi. - Insiemi finiti: numeri cardinali, numeri naturali, principio di induzione. - Insiemi infiniti e loro cardinalità, unione e prodotto cartesiano di insiemi numerabili. - Alcune nozioni di calcolo combinatorio: il binomio di Newton, proprietà dei coefficienti binomiali. – Funzioni: definizione, dominio, immagine, funzione inversa.

• INSIEMI NUMERICI (materiale reperibile, per esempio, nel secondo capitolo del Pagani-Salsa)
  - Numeri interi relativi - Numeri razionali, struttura algebrica, rappresentazione decimale. - Numeri reali, struttura algebrica, rappresentazione decimale, assioma di completezza, estremo superiore e inferiore, potenza del continuo.
  - Numeri complessi e loro proprietà, forma cartesiana e trigonometrica, esponenziale di un numero complesso, formule di Eulero, radici n-esime.
• SPAZI EUCLIDEI (materiale reperibile, per esempio, nel terzo capitolo del Pagani-Salsa e nei libri di Geometria analitica) - Spazi vettoriali, spazio Rⁿ, prodotto scalare in Rⁿ e sua interpretazione geometrica per n=2,3 – Rappresentazione analitica della retta in R² e del piano in R³.

La parte seguente del programma è riportata seguendo grosso modo lo schema seguito nel corso delle lezioni, leggermente diverso da quello del Pagani-Salsa, che introduce il concetto di limite di funzione prima di quello di limite di successione.

• FUNZIONI ELEMENTARI - Funzioni elementari e loro proprietà: potenza, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche e loro inverse. – Polinomi, Teorema fondamentale dell’Algebra (solo enunciato) e decomposizione di un polinomio in fattori irriducibili, nel campo reale e nel campo complesso. – Funzioni razionali fratte e loro decomposizione in frazioni con denominatore irriducibile (senza dimostrazione).
• NOZIONI DI TOPOLOGIA IN Rⁿ - Norma euclidea. - Nozione astratta di Norma e Distanza. - Insiemi a perti e chiusi, punti di accumulazione, frontiera. - Il teoremi di Bolzano-Weierstrass. – Insiemi compatti e Teorema di Heine-Borel.
• SUCCESSIONI - Successioni, limiti di successioni - Successioni monotone. - Calcolo di limiti, forme indeterminate.
  - Limiti notevoli. Il numero e. – Sottosuccessioni e punti limite. - Proprietà dell’insieme dei punti limite, massimo e minimo limite (senza dimostrazioni). – Successioni di Cauchy e criterio di convergenza di Cauchy.
• LIMITI E CONTINUITÀ PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE - Limiti di funzioni, continuità. - Massimi e minimi, teorema di Weierstrass. - Teorema degli zeri. - Continuità della funzione inversa. – Ordini di infinitesimo e di infinito, confronti. - Uniforme continuità e Teorema di Cantor-Heine (solo enunciato).
• DERIVATE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE – Derivata e differenziale: definizione, interpretazione geometrica
  - Algebra delle derivate, derivata delle funzioni elementari, derivata della funzione inversa e delle funzioni composte - I Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange. - Applicazioni delle derivate allo studio della monotonia, dei massimi e minimi e della convessità delle funzioni. - Studio del grafico di funzioni.
  - Teorema di De L'Hopital, formula di Taylor. Applicazioni al calcolo di limiti. – Risoluzione numerica di equazioni: metodo del dimezzamento dell’intervallo, metodo di Newton (senza dimostrazione).
• INTEGRALI - Integrale di Riemann e sue proprietà. - Integrabilità delle funzioni continue. - Teorema fondamentale del calcolo integrale. - Calcolo di integrali. Formula di integrazione per sostituzione e per parti - Integrazione delle funzioni razionali. - Integrali impropri: definizioni e criteri di convergenza (senza dimostrazioni).
• FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI REALI - Limiti e continuità per funzioni di più variabili reali, estensione dei Teoremi validi per le funzioni di una variabile, interpretazione geometrica del grafico nel caso di due variabili. - Derivate direzionali e derivate parziali. – Differenziabilità e sue conseguenze: continuità e rappresentazione del differenziale tramite il gradiente, interpretazione geometrica (piano tangente) nel caso di due variabili. – Teorema sulla differenziabilità di funzioni con derivate parziali continue in un aperto.

La parte seguente del programma è di solito contenuta nei testi di Analisi 2.

• EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE - Equazioni differenziali in forma normale e problema di Cauchy, Teorema di esistenza e unicità (solo enunciato) - Equazioni differenziali del primo ordine lineari e a variabili separabili.
  - Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: soluzione generale dell’equazione omogenea e di quella non omogenea in casi particolari, cenni al metodo di variazione delle costanti.