Programma del corso di MATEMATICHE COMPLEMENTARI 2 (dott. Paolo Lipparini) (A.A.
2002-2003)(Tor
Vergata)
(salvo errori od omissioni)
Non immutabilita' della matematica.
Mancanza di rigore nel calcolo infinitesimale nel '600-'700. L'"Analista"
di Berkeley [B, 494-495].
Cenni sul problema dell'esistenza degli oggetti matematici e degli oggetti fisici.
L'evoluzione della geometria: le geometrie "non euclidee" e la geometria
differenziale [B, 621-626];.il principio di dualita' in geometria
proiettiva [B, 605-616]
Cenno ai problemi di Hilbert come tentativo di prevedere il futuro della
matematica. Il secondo problema e il programma di Hilbert [L]. Distinzione fra
matematica e "metamatematica". Cenni sulle dispute fra sostenitori del rigore e sostenitori dell'intuizione.
Aspetti costruttivi e non costruttivi della matematica.
Cenni alla concezione della matematica come pura attivita' estetica.
Opinioni di G. Peano sugli esami [Pe].Vita e personalitŕ di A.Church [Ro].
Il "matematico ideale" [DH, 30-38].
Problematicita' della "verificabilita'" nella matematica e nella scienza: esempio, la fusione nucleare fredda (facoltativo).
Logica.
L'evoluzione del concetto di sistema assiomatico. Sistemi assiomatici in senso "classico" e in senso "moderno" [S, p. 11-12]. Passaggio graduale dalla concezione "classica" alla concezione "moderna" di sistema assiomatico.
Nozione di sistema (o teoria) formale. Formule ben formate; assiomi; regole di inferenza; nozione di dimostrazione all'interno di un sistema formale. Introduzione di nuovi simboli mediante definizioni. Calcolo delle Proposizioni. Il calcolo delle proposizioni come esempio di sistema formale; esempio di dimostrazione. Semantica del calcolo delle proposizioni. Suo carattere verofunzionale. Tavole di veritŕ. Tautologie.
Teorema di adeguatezza. Teorema di completezza (senza dimostrazione).
Il Teorema di Gödel.
Il calcolo dei predicati del primo ordine: sintassi e semantica.
Autoriferimento [Note]. Il paradosso del mentitore. Assiomi di Peano e aritmetica di Peano. Gödelizzazione. Enunciato dei teoremi di incompletezza di Gödel e schema di
dimostrazione. Significato intuitivo dell'enunciato indecidibile di Gödel
("io non sono dimostrabile"). Irrealizzabilita' del programma di
Hilbert. La "tesi" di Church. L'insieme
dei teoremi dell'aritmetica di Peano e' ricorsivamente enumerabile ma non
ricorsivo (senza dimostrazione). Inesistenza di un "algoritmo
universale" (facoltativo). Cenno ai "problemi insolubili".
Filosofia della matematica.
L'inesplicabile efficacia della matematica nelle scienze naturali [W].
Cenni al Bourbakismo.
Una difesa del metodo dimostrativo [Pl].
Breve discussione dell'argomento di Lucas sull'irrealizzabilita' di macchine
"intelligenti" [Pu] (facoltativo).
Il programma consiste delle pagine delle opere citate, piů le seguenti parti del libro E.Mendelson, Introduzione alla Logica Matematica: Paradossi
semantici (punto 4) a pagina 11); §1.1; §1.2 (escluse 1.2 e 1.3); §1.4 (senza le dimostrazioni di 1.8-1.10, 1.12-1.15) ; §2.1; §2.2; §2.3;
Corollario 2.14 (senza dimostrazione); §3.1 (senza dimostrazioni);
§3.4 (senza dimostrazioni; per "ricorsivo" si intende "calcolabile
algoritmicamente", accettando la tesi di Turing); §3.5 (senza la
dimostrazione di 3.32);Corollario 3.36 (senza dimostrazione); pagine 275
e 307.
[B] C.B.Boyer, Storia della matematica, Mondadori, 1990.
[DH] Davis, Hersh, L'esperienza matematica, edizioni di Comunitŕ, 1985.
[L] I. Lavatore, Il Programma di Hilbert e suoi recenti sviluppi.
[Pe] G.Peano, Contro gli esami.
[Pl] R.A.Platek, Making computers safe for the world: an introduction to proofs of programs, in "Logic and Computer science", 60-69, Lecture Notes in
Mathematics, Springer.Verlag, 1990.
[Pu] P. Pudlak, A note on applicability of the incompleteness theorem to
human mind, Annals of Pure and Applied Logic, 96 (1999), 335-342.
[Ro] G.C.Rota, Fine Hall nell'etŕ dell'oro.
[S] J.R.Shoenfield, Logica Matematica, (trad. it.), Boringhieri, 1980.
[W] Wigner, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural
Sciences, Comm. Pure Appl. Math. vol XIII, 1-14 (1960).
[Note] Note distribuite a lezione.
Altri testi che possono venire usati per approfondire alcuni argomenti.
G.C.Rota, Matematica e filosofia: storia di un malinteso, Bollettino U.M.I. (7) 4-A (1990), 295-307.
G. Lolli, Capire una dimostrazione, Il Mulino, 1988.
L.Russo, La rivoluzione dimenticata, Feltrinelli, 1996.