IRRIDUCIBILITA' DI POLINOMI SU CAMPI.
1) I SEGUENTI RISULTATI VALGONO PER QUALUNQUE CAMPO K
(ad esempio, C, R, Q, Zp;
non e' detto che valgano su
Z: Z non e' un campo!).
1a) Ogni polinomio di grado 1 e' irriducibile (su qualunque campo).
1b) Un polinomio di grado maggiore di uno che ammette una radice appartenente a K
e' riducibile su K.
1c) Il viceversa vale per polinomi di grado 2 e 3: un polinomio di grado
2 oppure 3 che non ammette radici in K e' necessariamente irriducibile.
2) Su C: un polinomio e' irriducibile se e solo se ha grado 1.
3) Su R: i polinomi irriducibili sono esattamente:
3a) tutti i polinomi di primo grado.
3b) i polinomi di secondo grado che non hanno radici (cioe' quelli col "delta"
minore di zero).
Tutti gli altri polinomi sono riducibili su R.
4) Su
Q.
4a) Conviene innanzitutto ricondursi al caso in cui il
polinomio e' a coefficienti interi ed e' primitivo (cioe' "fare il
comun denominatore" e semplificare tutti i fattori comuni; si
dovrebbe dire, con terminologia piu' accurata, che ogni polinomio a
coefficienti in Q e' associato ad un polinomio a coefficienti
interi
primitivo). Poi:
4b) si possono cercare radici razionali del polinomio (basta un numero finito di
tentativi, vedi Proposizione 6.5 del testo "Md" oppure 3.3.14
del testo "Algebra").
- se il polinomio ha grado 1, allora e' irriducibile.
- se il polinomio ha una radice appartenente a Q, e grado
maggiore di uno, allora
e' riducibile.
- se il polinomio ha grado 2 o 3, allora e' irriducibile se e
solo non ha radici in Q.
- resta il caso in cui il polinomio ha grado maggiore di 3 e nessuna
radice in Q.
Si puo' allora tentare con:
4c) Criterio di Eisenstein (N.B.: il criterio di Eisenstein e' solo
una condizione sufficiente per l'irriducibilita': se si puo'
applicare Eisenstein, allora il polinomio e' certamente
irriducibile su Q; ma ci sono polinomi irriducibili la cui
irriducibilita' non puo' essere dimostrata usando Eisenstein!);
4d) Passaggio a Zp (anche questo criterio fornisce solo una
condizione sufficiente!);
4e) Ricerca di fattori di secondo grado (come nell'esempio 6.7 del
testo "Md" oppure nell'esempio
3.3.20.
del testo "Algebra")
N.B. Questo
metodo e' solitamente molto lungo e laborioso, quindi meglio usarlo solo se non
ci sono alternative).
5) Su
Zp.
5a) Cercare eventuali radici (anche in questo caso basta un numero finito
di tentativi: basta provare con tutti i
numeri 0, 1, ..., p-1).
5b) la discussione e' identica al caso 4b).
5c) Se il polinomio ha grado maggiore di 3 e nessuna
radice in Zp,
si puo' tentare la ricerca di fattori di secondo grado,
come nell'esempio 3.3.21. (N.B.: Il criterio di Eisenstein si puo' applicare
solo per Q, non si puo' applicare per Zp !)
[Naturalmente, esistono anche altri metodi! Questo e' solo uno specchietto
indicativo che dovrebbe essere sufficiente a risolvere la maggior parte degli
esercizi che vi verranno proposti]