IRRIDUCIBILITA' DI POLINOMI SU CAMPI.


1) I SEGUENTI RISULTATI VALGONO PER QUALUNQUE CAMPO K (ad esempio, C, R, Q, Zp; non e' detto che valgano su Z: Z non e' un campo!).

1a) Ogni polinomio di grado 1 e' irriducibile (su qualunque campo).

1b) Un polinomio di grado maggiore di uno che ammette una radice appartenente a K e' riducibile su K.

1c) Il viceversa vale per polinomi di grado 2 e 3: un polinomio di grado 2 oppure 3 che non ammette radici in K e' necessariamente irriducibile.


2) Su C: un polinomio e' irriducibile se e solo se ha grado 1.


3) Su R: i polinomi irriducibili sono esattamente:

3a) tutti i polinomi di primo grado.
3b) i polinomi di secondo grado che non hanno radici (cioe' quelli col "delta" minore di zero).

Tutti gli altri polinomi sono riducibili su R.


4) Su Q.

4a) Conviene innanzitutto ricondursi al caso in cui il polinomio e' a coefficienti interi ed e' primitivo (cioe' "fare il comun denominatore" e semplificare tutti i fattori comuni; si dovrebbe dire, con terminologia piu' accurata, che ogni polinomio a coefficienti in Q e' associato ad un polinomio a coefficienti interi primitivo). Poi:

4b) si possono cercare radici razionali del polinomio (basta un numero finito di tentativi, vedi Proposizione 6.5 del testo "Md" oppure 3.3.14 del testo "Algebra").
- se il polinomio ha grado 1, allora e' irriducibile.
- se il polinomio ha una radice appartenente a Q, e grado maggiore di uno, allora e' riducibile.
- se il polinomio ha grado 2 o 3, allora e' irriducibile se e solo non ha radici in Q.
- resta il caso in cui il polinomio ha grado maggiore di 3 e nessuna radice in Q. Si puo' allora tentare con:

4c) Criterio di Eisenstein (N.B.: il criterio di Eisenstein e' solo una condizione sufficiente per l'irriducibilita': se si puo' applicare Eisenstein, allora il polinomio e' certamente irriducibile su Q; ma ci sono polinomi irriducibili la cui irriducibilita' non puo' essere dimostrata usando Eisenstein!);

4d) Passaggio a Zp (anche questo criterio fornisce solo una condizione sufficiente!);

4e) Ricerca di fattori di secondo grado (come nell'esempio 6.7 del testo "Md" oppure nell'esempio 3.3.20. del testo "Algebra") N.B. Questo metodo e' solitamente molto lungo e laborioso, quindi meglio usarlo solo se non ci sono alternative).


5) Su Zp.

5a) Cercare eventuali radici (anche in questo caso basta un numero finito di tentativi: basta provare con tutti i numeri 0, 1, ..., p-1).

5b) la discussione e' identica al caso 4b).

5c) Se il polinomio ha grado maggiore di 3 e nessuna radice in Zp, si puo' tentare la ricerca di fattori di secondo grado, come nell'esempio 3.3.21. (N.B.: Il criterio di Eisenstein si puo' applicare solo per Q, non si puo' applicare per Zp !)


[Naturalmente, esistono anche altri metodi! Questo e' solo uno specchietto indicativo che dovrebbe essere sufficiente a risolvere la maggior parte degli esercizi che vi verranno proposti]