Corso di Logica Matematica 1 (AA 2022-23) Programma svolto con dettagli. 4 ott 2022 Presentazione del corso. Cenni ad alcuni argomenti fondamentali di logica (da sviluppare in seguito): nozione di dimostrazione in senso formale; teoremi di incompletezza di Godel; modelli; definizione di algoritmo; applicazioni ad algebra, topologia, analisi; analisi non standard. Teoria degli insiemi come teoria dell'infinito. Cenni all'algebra universale. 5 ott 2022 Cenni ad alcuni teoremi significativi di algebra universale. [Per chi fosse interessato, maggiori dettagli si possono trovare in https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/AA2122/Brevau27dic.pdf non fa comunque parte del programma] Sistemi assiomatici. https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/AA1516/sh.pdf 6 ott Sistemi formali. Dimostrazioni e teoremi (all'interno di un sistema formale). 12 ott Cenni ai dibattiti a cavallo di '800 e '900 sull'ammissibilita' dell'uso degli insiemi e di metodi infinitari. [Per chi fosse interessato, maggiori dettagli si possono trovare in https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/AA1516/progcomm1.txt non fa comunque parte del programma] Cenni al Programma di Hilbert. https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/AA1516/il.pdf Il Calcolo delle Proposizioni come sistema formale. Simboli e formule. Natura induttiva della definizione di formula. Teoria intuitiva degli insiemi. https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/AA2021/thins.pdf 13 ott Assiomi e regola di deduzione del Calcolo delle Proposizioni. Esempio di dimostrazione. Interpretazione del Calcolo delle Proposizioni; connettivi, tavole di verita', tautologie. Definizioni come abbreviazioni oppure come assiomi in un'estensione conservativa. Cenni alla rinascita della logica in Italia; il gruppo di ricerca fondato da Geymonat. Approfondimenti: Corrado Mangione: Ludovico Geymonat e la rinascita della logica italiana, in Storie e protagonisti della matematica italiana, Springer-Verlag Italia, 2013. http://www.springer.com/mathematics/applications/book/978-88-470-2777-0 18 ott Formule come alberi (con etichette). Notazione polacca inversa e caratterizzazione delle formule [Mendelson 1.2, esercizio 3]. 19 ott Teorema di deduzione per il calcolo delle proposizioni. Teorema di completezza ed adeguatezza (senza dimostrazione). Interesse di Aristotele nei confronti dei metodi deduttivi utilizzati nelle dimostrazioni dei teoremi di geometria. Dettagli in George Boger, Aristotle's underlying logic, in Handbook of the History of Logic Volume 1, Greek, Indian and Arabic Logic, p. 109 - 110. Caratteristiche attuali dell'editoria scientifica. Approfondimento in https://www.roars.it/online/dizionario-dellopen-science-double-dipping/ 20 ott Calcolo dei predicati del primo ordine: simboli, termini, formule, assiomi. 25 ott Calcolo dei predicati: regole di inferenza. Modelli. 26 ott (decima lezione) Soddisfacibilita' di una formula in un modello, data un'assegnazione di elementi del modello a ciascuna variabile. La soddisfacibilita' dipende solo dalle variabili libere nella formula (la dimostrazione non fa parte del programma; chi desiderasse i dettagli puo' consultare https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/AA2021/Materiale.pdf pagine 10-13, titolo: Dimostrazione dell'osservazione VIII a p. 68 del libro di Mendelson). Teorema di completezza e adeguatezza generalizzato per il calcolo dei predicati del primo ordine (senza dimostrazione). Applicazione: teorema di compattezza. Esistenza di modelli non standard per qualunque teoria dell'aritmetica nel linguaggio con 0 e successore. Note: https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/AA2223/compltzz.pdf 27 ott Applicazioni del teorema di compattezza: ogni teoria con modelli finiti di cardinalita' arbitrariamente alta ha un modello infinito; ogni teoria nel linguaggio dei gruppi che ha modelli con elementi di periodo arbitrariamente alto ha un modello con un elemento di periodo infinito; ogni teoria degli anelli con unita' con modelli di caratteristica arbitrariamente alta ha un modello di caratteristica infinita. Teorema di Lowenheim Skolem verso l'alto. Debolezza espressiva del calcolo dei predicati del primo ordine. Cenni alla teoria dei modelli astratta. 2 nov Autoriferimento. https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/autorif1.gif https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/autorif2.gif Aritmetica di Peano e confronto con gli assiomi di Peano. Godelizzazione. 3 nov Teorema di Tarski. Vedi Sez. 3.1 in https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/AA2021/thins.pdf Cenni alle funzioni ricorsive e alla Tesi di Church. Relazioni esprimibili. 8 nov Primo teorema di incompletezza di Godel. Significato intuitivo della formula non dimostrabile e possibilita' di estendere PA con questa formula. Il teorema di incompletezza vale anche per questa teoria estesa, per un'altra opportuna formula, anzi, per qualunque estensione il cui insieme di assiomi sia effettivamente descrivibile (ammettendo la Tesi di Church). Cenni all'Aritmetica Ricorsiva Primitiva. 9 nov Teorema di Godel Rosser (senza dimostrazione). Conseguenze: l'insieme degli enunciati validi nel modello standard dell'artimetica non e' ricorsivo. Anche se ogni teoria puo' essere estesa ad una teoria completa, in generale questa procedura non puo' essere resa effettiva. Secondo teorema di incompletezza di Godel (cenni di dimostrazione). Conseguenze relative alla realizzabilita' del programma di Hilbert. Cenni alla "reverse mathematics". Cenni agli ordinali associabili ad alcune teorie nel senso di teoria della dimostrazione. Chi fosse interessato a maggiori dettagli puo' consultare https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_analysis 10 nov Filtri e ultrafiltri, esempi. Ogni filtro proprio puo' essere esteso ad un ultrafiltro (usando il Lemma di Zorn). Cenni ad applicazioni di filtri ed ultrafiltri in topologia, algebra, teoria dei numeri e degli insiemi Cenni alla dimostrazione del Teorema di Los. Applicazione: teorema di compattezza (caso numerabile). Chi fosse interesato a maggiori dettagli puo' consultare il testo di Chang Keisler, Model Theory. Gli argomenti di questa lezione sono tutti facoltativi. Maggiori dettagli in Ultrafilters across Mathematics, AMS, 2010. Algebra in the Stone-Cech compactification : theory and applications, by Neil. Hindman, Donna Strauss, 2nd revised and extended ed. 15 ott Uso delle ultrapotenze per construire modelli non standard. Cenni al cosiddetto "argomento di Lucas". Per chi fosse interessato a maggiori dettagli: https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose%E2%80%93Lucas_argument Cenni al programma di Godel per risolvere il "problema del continuo". 16 ott Ultrafiltri numerabilmente completi. Cenni ai collegamenti col problema di Ulam della misura e al Teorema di Solovay. Per chi fosse interessato a maggiori dettagli: https://en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model A. Kanamori e M. Magidor, The evolution of large cardinal axioms in set theory, in: Higher set theory, Lecture Notes in Mathematics, 669, Springer, 99-275, scaricabile a http://math.bu.edu/people/aki/e.pdf 17 ott Reticoli come insiemi parzialmente ordinati. Esempi. Proprieta' algebriche. Reticoli distribuitvi e modulari. Teorema: un reticolo e' modulare se e solo se non ha M_3 come sottoreticolo (sottoreticolo in senso algebrico). Spazi proiettivi in senso astratto. 6 dic (20a lezione) Reticoli completi. Un insieme parzialmente ordinato con massimo e minimo tale che ogni sottoinsieme (anche infinito) ha un meet e' un reticolo completo (in altre parole, un semireticolo completo e' un reticolo completo) Sottospazi di uno spazio proiettivo. L'insieme dei sottospazi, ordinato per inclusione, e' un reticolo. Cenni ad alcuni aspetti della posizione finzionista riguardo la matematica. Maggiori dettagli in https://plato.stanford.edu/entries/fictionalism-mathematics 7 dic Corrispondenza fra spazi proiettivi e reticoli modulari, complementati, atomici con una ulteriore proprieta' (senza dimostrazione, dettagli nel libro di Crawley Dilworth, Algebraic theory of lattices). Algebre di Boole. Configurazione del Desargues, identita' arguesiana nei reticoli. Un reticolo di relazioni di equivalenza che permutano soddisfa all'identita' arguesiana: Teorema 8.7 nelle dispense di algebra universale: https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/AA2122/Brevau27dic.pdf 9 dic Teoria degli insiemi: principio di estensionalita'. Multiinsiemi. Cenni agli insiemi fuzzy (o sfumati). Lettura commentata di parti di G. Lolli, Guida alla teoria degli insiemi. Cenni all'origine della nozione moderna di funzione. Maggiori dettagli in https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_the_function_concept 13 dic Coppie ordinate. Realizzazione insiemistica dei numeri naturali. Paradosso di Russell. Teorema di Cantor sulla cardinalita' dell'innsieme potenza. Paradosso "di Cantor" del massimo cardinale. Cenni al paradosso cosiddetto di Burali Forti del massimo ordinale. Cenni alla derivata di Cantor Bendixson, maggiori dettagli in https://en.wikipedia.org/wiki/Derived_set_(mathematics) 14 dic Insiemi bene ordinati. N e' bene ordinato. Induzione trasfinita su un insieme bene ordinato (presentazione intuitiva). Gerarchia di von Neumann. 15 dic (25a lezione) Teoria assiomatica degli insiemi. Assiomi della coppia, unione, potenza, infinito, separazione, rimpiazzamento. 20 dic L'assioma di rimpiazzamento implica l'assioma di separazione (e, insieme agli altri assiomi, l'assioma della coppia). Classi proprie. Cenni ad assiomatizzazioni della teoria degli insiemi mediante classi proprie. Nell'universo di von Neumann non esiste un insieme che appartiene a se stesso. Assioma di fondazione. Principio di induzione insiemistica. Principio della partizione. Maggiori dettagli in https://karagila.org/2014/on-the-partition-principle/ 21 dic Assioma di scelta; Principio del buon ordinamento; assioma moltiplicativo; assioma delle scelte numerabili. Cenni al paradosso di Banach-Tarski. Cenni al finitismo di Cantor. Cenni all'assioma di determinatezza. Maggiori informazioni in https://en.wikipedia.org/wiki/Determinacy 22 dic Strategia vincente per il Nim. Hackenbush. Esempio di posizione di Hackenbush di valore un mezzo. Hackenbush infinito. Regola Di Berlenkamp (senza dimostrazione). Dettagli in: http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-partizan3 https://vdoc.pub/download/combinatorial-game-theory-after-berlekamp-conway-guy-7bl0436g40o0 Siegel, Combinatorial game theory. Posizione di valore infinito e posizione di valore infinitesimo. Cenni al campo dei numeri surreali. 10 gen 2023 Ordinali come giochi. Rappresentazione di omega-1 come posizione di Hackenbush. Costruzione della classe dei giochi combinatori in senso astratto (mediante "giorno di nascita" nel senso di Conway). La classe dei giochi include la classe di tutti gli insiemi. 11 gen Somma di giochi, opposto di un gioco. Giochi di valore zero. Equivalenza di giochi rispetto al "valore". Le classi di equivalenza sono un grupo abeliano. Somma ordinale di due buoni ordini. Cenni alla somma "naturale" (definita come massimo delle "somme miste"); e' la somma nel senso di somma di giochi. 12 gen Applicazioni degli ultrafiltri in topologia. D-compattezza. Uno spazio topologico e' compatto se e solo se e' D-compatto per ogni ultrafiltro. Teorema di Tychonoff. (argomenti facoltativi)