PROGRAMMA DEFINITIVO

LOGICA MATEMATICA (AA 2021-22)

Paolo Lipparini


Algebre ed esempi. Sottoalgebre, morfismi, strutture quoziente, 
congruenze. Reticoli, semireticoli. Reticoli delle sottoalgebre e delle 
congruenze di un'algebra.

Algebre e varieta' a congruenze permutabili. Un reticolo di relazioni di 
equivalenza e' modulare, anzi, arguesiano. Descrizione del sup di due 
congruenze e di due relazioni di equivalenza.

Termini. Caratterizzazione della sottoalgebra generata da un sottoinsieme usando
i termini. 

Sottoalgebra di Frattini di un'algebra e sua caratterizzazione come 
intersezione di tutte le sottoalgebre massimali proprie. La 
carattereizzazione non vale necessariamente per algebre con operazioni 
infinitarie. (argomento facoltativo).

Sistemi di chiusura e definizione equivalente tramite un operatore di 
chiusura. Reticolo completo associato. Sistemi di chiusura algebrici.

Reticoli con 0 e 1; reticoli complementati. Algebre di Boole. 

Algebre libere ed esempi. Reticolo distributivo libero su un insieme di 3 
elementi. Algebra di Boole libera su un insieme finito. Teorema di 
esistenza per algebre libere in una classe chiusa per prodotti e 
sottoalgebre.

Caratterizzazione di Malcev delle varieta' a congruenze 
permutabili. Altra caratterizzazione: una varieta' e' a congruenze 
permutabili se e solo se ogni sottoalgebra di F x F e' a congruenze 
permutabili, dove F e' l'algebra libera su 2 elementi. Ancora un'altra 
caratterizzazione: una varieta' e' a congruenze permutabili se e solo se 
ogni relazione riflessiva e compatibile e' una congruenza. Descrizione di 
tutti i termini di Malcev nella varieta' delle Algebre di Boole.

Teorema di Birkhoff.

Cenni alla Condizione sui Termini (Term Condition, TC). Un gruppo soddisfa 
a TC se e solo se e' abeliano. Lemma di Lampe.

 Teorema di Willard su TC: se M_3 e' uno 0-1-sottoreticolo del reticolo 
delle congruenze di un'algebra, e due di queste congruenze 3-permutano, 
allora vale TC (facoltativo).

Teorema di Pixley (caratterizzazione delle varieta' aritmetiche). 
Caratterizzazioni delle varieta' con un termine-maggioranza.

Un'algebra a congruenze 3-permutabili e' a congruenze modulari.
Una varieta' con un termine di quasi unanimita' e' a congruenze distributive.

Caratterizzazione delle varieta' a congruenze distributive mediante i 
termini di Jonsson.

Le algebre di implicazione soddisfano alla Condizione di Jonsson per n=3 
ma non hanno un termine quasi unanimita'. La varieta' di Baler soddisfa 
alla Condizione di Jonsson per n=4 ma non per n=3. (argomento facoltativo)

Cenni ad applicazioni dell'algebra universale a problemi di complessita' 
(facoltativo)

Termini di Taylor.


Il programma consiste del materiale delle note del corso (incluse le 
osservazioni) piu' le seguenti parti del libro di Bergman:

Definizione 1.7; Sezione 2.1 (tranne Proposizione 2.3), Definizione 2.5, 
Teorema 2.8, Definizioni 2.11, 2.23, 2.24, Teorema 2.25, Definizione 2.27, 
esempi (1),(2),(3) a p. 101-102, Teoremi 4.64, 4.65(1), 4.66, 4.70, 
Esercizio 6.15(1).