PROGRAMMA DEFINITIVO

LOGICA MATEMATICA 1 (AA 2020-21)

Paolo Lipparini


Sistemi assiomatici e sistemi formali. Natura problematica della nozione 
di infinitesimo, uso in matematica e relative controversie. Paradosso di 
Russell e Programma di Hilbert.  Distinzione fra teoria e metateoria.
Lemma di Lindenbaum e versioni generalizzate.

Calcolo delle proposizioni, formule ben formate, connettivi, tavole di 
verita'. Notazione polacca. Tautologie. Insiemi adeguati di connettivi. 
Forma normale disgiuntiva. Un sistema formale per il calcolo delle 
proposizioni. Esempio di dimostrazione. Teorema di deduzione. Teorema di 
adeguatezza. Teorema di completezza (senza dimostrazione).

Calcolo dei predicati: termini, formule atomiche, formule. Modelli, 
interpretazioni, soddisfacibilita'. Assiomi e regole di inferenza per il 
calcolo dei predicati. Teorie. Teorema di completezza ed adeguatezza 
generalizzato (senza dimostrazione). Teorie con uguaglianza. Conseguenze 
del teorema di completezza: una teoria e' non contradditoria se e solo se 
ha un modello. Teorema di compattezza. Esistenza di modelli non standard e 
altre applicazioni. Teoremi di Lowenheim-Skolem-Tarski (con dimostrazione 
solo la parte verso l'alto). Aritmetica di Peano. Cenni alla teoria dei 
modelli astratta (facoltativo). Cenni all'analisi nonstandard. 
Caratterizzazione nonstandard della continuita'.

Paradossi semantici. Autoriferimento. Godelizzazione. Teorema di Tarski. 
Relazioni numeriche esprimibili. Primo e secondo teorema di incompletezza 
di Godel e Godel-Rosser. Conseguenze riguardo la realizzabilita' del 
programma di Hilbert. Funzioni e relazioni ricorsive. Cenni alla tesi di 
Church. Cenni al cosiddetto "argomento di Lucas".

Paradosso di Cantor. Teoria assiomatica degli insiemi. Assiomi della 
teoria di Zermelo-Fraenkel. Classi proprie come abbreviazioni. Assioma 
della scelta e alcune forme equivalenti. Teorema di Cantor sulla 
cardinalita' di P(x). Principio della partizione. Insiemi bene ordinati. 
Confrontabilita' di buoni ordini. Somme e prodotti. Ordinali e cardinali. 
Gerarchia di von Neumann.

La parte seguente e' tutta facoltativa.
 Modelli interni. La gerarchia degli insiemi costruibili di Godel. Cenni 
ai teoremi di assolutezza. Cenni al metodo del "forcing". Cenni ai grandi 
cardinali: inaccessibili, debolmente compatti, misurabili, fortemente 
compatti, con alcune formulazioni equivalenti.


Il programma e' costituito dal seguente materiale.

Mendelson, introduzione alla logica matematica, pagine 10-15, 23-51, 
60-75, 128-129, 146-151, 167, 174-179.

il file  Materiale.pdf

il file D.pdf (richiedetemelo)

appunti sulla teoria degli insiemi
https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/AA2021/thins.pdf

per la parte facoltativa di teoria degli insiemi
http://www.bdim.eu/item?fmt=pdf&id=BUMI_2003_8_6A_1_57_0
(esclusa la sezione 3)