Corso di Logica Matematica 1 (AA 2020-21)


PRESENTAZIONE DEL CORSO 

 Non ci sono prerequisiti particolari. Il programma effettivo potra' 
 essere concordato.

 Indicativamente il testo sara' il libro di Mendelson citato sotto; per 
 eventuali altri argomenti verranno fornite dispense.

 Il corso intende presentare le nozioni di base della logica matematica 
 come sviluppata nel corso del '900, ponendo eventualmente l'accento su 
 alcuni argomenti di Teoria degli insiemi, Teoria dei modelli, 
 sull'analisi non standard e su alcune applicazioni topologiche e 
 algebriche.

 In detaglio, i paradossi e le controversie sull'uso degli insiemi hanno 
 portato Hilbert a proporre il "programma" che da lui prende nome. Molto 
 schematicamente, Hilbert propone di dimostrare che la matematica che fa 
 uso degli insiemi (o, meglio, dell'infinito) non porta a contraddizioni. 
 Hilbert quindi considera la matematica come un "oggetto di studio"; la 
 trattazione di questo studio si deve svolgere nella "metamatematica", una 
 specie di algebra dei simboli e delle formule, che deve fare uso solo di 
 metodi "finitistici", su cui non dovrebbero essere possibili ne' dubbi 
 ne' controversie.

 Elaborando le idee di Hilbert (e di Frege, Peano, Russell e altri) e' 
 stato chiarito e definito esattamente cosa significhi "dimostrare" in 
 senso matematico. D'alro canto Godel scopre profondi limiti intrinseci a 
 questo metodo dimostrativo; in particolare i suoi teoremi detti di 
 incompletezza vengono usualmente interpretati nel senso che e' 
 impossibile realizzare il programma di Hilbert nella sua interezza.

 Ad ogni modo, i metodi formali originati dallo studio della logica hanno 
 avuto una profonda influenza sull'informatica e, piu' marginalmente, su 
 molte branche della matematica, in particolare, algebra, topologia, e la 
 cosiddetta "analisi non standard", in cui si da' una veste rigorosa alla 
 nozione di "infinitesimo".


PROGRAMMA INDICATIVO

Paradossi. Sistemi formali. Linguaggi. Formule ben formate. Assiomi. 
Dimostrazioni in senso formale. Calcolo delle proposizioni. Teoria 
"intuitiva" degli insiemi. Calcolo dei predicati del primo ordine. 
Modelli. Soddisfacibilita'. Teorie del primo ordine. Teoremi di 
completezza e compattezza. Applicazioni. Modelli non standard. Teoremi di 
incompletezza. Conseguenze. Costruzioni di modelli. Teoremi di Lowenheim 
Skolem. Ultrafiltri e ultraprodotti. Teorema di Los. Applicazioni 
topologiche degli ultrafiltri. Analisi non standard. Cenni all'algebra 
universale.


 TESTI CONSIGLIATI

 Verranno rese disponibili dispense, con altro materiale consultabile online.
 Possibili testi di riferimento (dei quali non e' assolutamente necessario l'acquisto)  sono:
  Elliott Mendelson, Introduzione alla logica matematica, qualunque edizione.
  C. C. Chang e H. J. Keisler, Model Theory, o traduzione italiana, 
Teoria dei modelli.
 Per quanto riguarda la teoria degl insiemi si puo' consultare parte delle seguenti note (probabilmente verranno aggiornate):
 https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/AA1819/thins.pdf