Programma del corso
 Logica matematica AA 2019-20

      Algebra universale.
 Operazioni. Strutture algebriche (per brevita', algebre). Esempi. 
Reticoli (sia come algebre che come insiemi parzialmente ordinati). 
Reticoli completi. Semireticoli, quasigruppi. Sottoalgebre, reticolo 
delle sottoalgebre di un'algebra; sottoalgebra generata da un 
sottoinsieme e sua descrizione. Congruenze; algebre quozienti; reticolo 
delle congruenze di un'algebra. Il reticolo delle congruenze di 
un'algebra A e' un sottoreticolo del reticolo delle relazioni di 
equivalenza su A. Tipi di similarita'. Morfismi; isomorfismi. Prodotti. 
Caratterizzazione "interna" del prodotto di due algebre.
 Termini. Algebre libere; esempi e teorema di esistenza. Teorema di 
Birkhoff (dimostrazione facoltativa). Varieta'.
 Congruenze permutabili e classi di algebre a congruenze permutabili. 
Teorema di Mal'cev e alcune conseguenze. Reticoli modulari e loro 
caratterizzazione mediante l'omissione del "pentagono" N5. Reticoli 
arguesiani. Un reticolo di relazioni di equivalenza (in particolare, di 
congruenze) permutabili e' modulare e arguesiano.
 Termini-maggioranza; caratterizzazione delle varieta' con un 
termine-maggioranza mediante una condizione di Mal'cev. Condizione di 
Mal'cev per le varieta' a congruenze distribuitve
 La "term condition" e il "Lemma di Lampe". Reticoli che (se reticoli di 
congruenze di un'algebra) implicano la term condition.
 Esistenza e proprieta' del commutatore di congruenze in un'algebra in 
una varieta' a congruenze modulari (senza dimostrazione). 
Termini-differenza e applicazioni. Una varieta' a congruenze modulari e' 
a congruenze arguesiane.
 Parte opzionale: commutatore in algebre qualunque (definito usando la 
generalizzazione della term condition). Termini differenza-deboli e 
conseguenze della loro esistenza. Ad esempio, se M_3 e' uno 
0-1-sottoreticolo del reticolo delle congruenze di A e A ha un 
termine-differenza debole allora A soddisfa alla term condition.

     Teoria degli insiemi.
 Trattazione intuitiva. 
 Sistemi assiomatici. Cenni agli assiomi di Zermelo-Fraenkel. Prodotti 
cartesiani, relazioni, funzioni.
 Parte opzionale: buoni ordini. Ordinali. Induzione e ricorsione 
transfinita. 


Il programma di algebra universale e' costituito dalle note disponibili 
in rete. INOLTRE, per la parte sui reticoli:

 - le note di G. Pareschi reperibili a
 www.mat.uniroma2.it/~gealbis/EALreticoli.pdf
 solo fino alla Proposizione 2.2, inoltre la def 3.11. la Sezione 5 sui 
sottoreticoli e il Teorema 1 a p. 11

o, alternativamente,

 - Clifford Bergman, Universal Algebra: Fundamentals and Selected 
Topics, CRC Press, 2012,
 la Definizione 1.7, la Sezione 2.1 fino alla Definizione 2.2 (esclusa), 
inoltre la Definizione 2.5(1), il Teorema 2.10(a)<=>(c) senza 
dimostrazione.

 INOLTRE, fanno parte del programma le seguenti parti del libro di 
Bergman (argomenti non presenti sulle note!):
 Sezione 1.2, la Sezione 2.2 fino a tutta pagina 26, la Definizione 
2.13, la Proposizione 2.14, i Teoremi 2.21 e 3.11 e dal Teorema 4.64 al 
Corollario 4.67.

 Inoltre la descrizione del gruppo libero su un insieme: 
https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Free_group&oldid=728805336

 Naturalmente, gran parte del programma di algebra universale puo' 
essere studiato sul libro di Bergman, se cosi' preferite.

 Il programma di teoria degli insiemi puo' essere studiato qui:

https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/AA1819/thinsb.pdf

(le note non fanno parte del programma)