Presentazione del corso (Logica Matematica - Algebra Universale, 2019-20) L'algebra universale (un nome piu' opportuno sarebbe "algebra generale", o "teoria generale dei sistemi algebrici") studia insiemi su cui sono definite operazioni, senza limitazioni sul numero di queste operazioni, e senza limitazioni sul numero di argomenti di ciascuna operazione (un operazione n-aria su un insieme A e' una funzione da A alla n ad A). Anche se sembrerebbe difficile poter dimostrare risultati significativi in un ambito talmente generale, alcuni risultati esistono. E' naturale definire le nozioni di sottostruttura, prodotto di strutture, di morfismo, e quindi di immagine omomorfa (= quoziente). Il teorema di Birkhoff, l'inizio dell'algebra universale moderna, dice che una classe di strutture dello stesso tipo e' chiusa per sottostrutture, prodotti e immagini omomorfe se e solo se e' definibile mediante identita' (dove identita' significa, grossomodo, un'uguaglianza scritta usando le operazioni di cui si sta trattando, preceduta esclusivamente da "per ogni", ad esempio: per ogni x,y,z, x(yz)=(xy)z ovviamente, in generale, potrebbe trattarsi di identita' molto piu' complicate). Una classe di strutture che soddisfa una delle due condizioni equivalenti date dal teorema di Birkhoff viene detta "varieta'". Un grosso nucleo di teoremi importanti di algebra universale afferma che, per certe proprieta' P e Q di strutture algebriche, se P vale per tutte le strutture di una certa varieta', allora anche Q vale per tutte le strutture di quella varieta'. La maggior parte di queste implicazioni sono non banali, nel senso che non valgono per singole strutture algebriche, ovvero ci sono singole strutture per cui P vale e Q non vale. In particolare, questo discorso si applica a molte proprieta' delle congruenze. Nel senso dell'algebra universale, una congruenza corrisponde grossomodo alla nozione di nucleo di un omomorfismo per i gruppi. Nel caso generale, una congruenza di una struttura algebrica e' una relazione di equivalenza, quindi la corrispondenza piu' precisa con la teoria dei gruppi sarebbe con la nozione di laterale (di un sottogruppo normale). Le congruenze di una struttura sono un insieme parzialmente ordinato con la proprieta' che, date due congruenze, esiste il loro max e il loro min. Insiemi ordinati di questo tipo si dicono reticoli (e hanno un interesse indipendente, come esempio essi stessi di strutture algebriche). Quanto detto sopra si esprime dicendo che esistono implicazioni non banali per i reticoli di congruenze di algebre in varieta'. Queste implicazioni non valgono per reticoli in generale. Programma (preliminare) di Logica Matematica Anno Accademico 2019-20 Non sono previsti particolari prerequisiti, oltre ad una conoscenza della matematica di base insegnata ai corsi del primo anno della laurea triennale. Algebra universale. Strutture algebriche. Esempi. Reticoli, semireticoli, algebre di Boole. Sottostrutture, prodotti, prodotti sottodiretti, omomorfismi. Congruenze. Algebre libere. Il Teorema di Birkhoff. Varieta'. Varieta' distributive, permutabili, modulari. Condizioni di Mal'cev. Cenni alle varieta' dei reticoli di congruenze. Cenni alla teoria del commutatore. Variazioni del programma potranno essere concordate con gli studenti all'inizio del corso. Possibili testi di riferimento (dei quali non e' assolutamente necessario l'acquisto) sono: - G. Gratzer, Universal algebra, qualunque edizione. - H. P. Sankappanavar, S. Burris, A Course in Universal Algebra, reperibile liberamente in rete: https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html Saranno comunque disponibili dispense, eventualmente con l'indicazione di altro materiale consultabile online. Le note per l'anno 2016-17 si possono trovare al seguente link. Naturalmente quest'anno potranno esserci variazioni. https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/AA1617/brevau.pdf Un'introduzione (leggermente tecnica) ad alcuni temi recenti di algebra universale si puo' trovare in https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/teorcomm.pdf