Corso di Logica Matematica 1 (AA 2018-19)


PRESENTAZIONE DEL CORSO 

 Non ci sono prerequisiti particolari. Il programma effettivo potra' 
comunque essere concordato (nei limiti delle mie conoscenze). 
 Indicativamente i testi saranno i libri di Mendelson e Chang, Keisler 
citati sotto; per eventuali altri argomenti verranno fornite dispense.

 Il corso intende presentare le nozioni di base della logica matematica 
come sviluppata nel corso del '900, ponendo eventualmente l'accento su 
alcuni argomenti di Teoria dei Modelli, sull'analisi non standard e su 
alcune applicazioni algebriche e topologiche.

 In detaglio, i paradossi e le controversie sull'uso degli insiemi hanno 
portato Hilbert a proporre il "programma" che da lui prende nome. Molto 
schematicamente, Hilbert propone di dimostrare che la matematica che fa 
uso degli insiemi (o, meglio, dell'infinito) non porta a contraddizioni. 
Hilbert quindi considera la matematica come un "oggetto di studio"; la 
trattazione di questo studio si deve svolgere nella "metamatematica", una 
specie di algebra dei simboli e delle formule, che deve fare uso solo di 
metodi finitistici, su cui non dovrebbero essere possibili ne' dubbi ne' 
controversie.

 Elaborando le idee di Hilbert e' stato chiarito e definito esattamente
cosa significhi "dimostrare" in senso matematico. D'alro canto Godel
scopre profondi limiti intrinseci a questo metodo dimostrativo; in
particolare i suoi teoremi detti di incompletezza vengono usualmente
interpretati nel senso che e' impossibile realizzare il programma di
Hilbert nella sua interezza.

 Ad ogni modo, i metodi formali originati dallo studio della logica hanno 
avuto una profonda influenza sull'informatica e, piu' marginalmente, su 
alcune branche della matematica: algebra, topologia, e la cosiddetta 
"analisi non standard", in cui si da' una veste rigorosa alla nozione di 
"infinitesimo".


PROGRAMMA INDICATIVO

Paradossi. Sistemi formali. Linguaggi. Formule ben formate. Assiomi.
Dimostrazioni in senso formale. Calcolo delle proposizioni. Calcolo dei
predicati del primo ordine. Modelli. Soddisfacibilita'. Teorie del primo
ordine. Teoremi di completezza e compattezza. Applicazioni. Modelli non
standard. Teoremi di incompletezza. Conseguenze. Costruzioni di modelli.
Teoremi di Lowenheim Skolem. Ultrafiltri e ultraprodotti. Teorema di Los.
Applicazioni topologiche degli ultrafiltri. Analisi non standard.


 TESTI CONSIGLIATI

 Verranno rese disponibili dispense, con altro materiale consultabile online.
 Possibili testi di riferimento (dei quali non e' assolutamente necessario
l'acquisto)  sono:
  Elliott Mendelson, Introduzione alla logica matematica, qualunque edizione.
  C. C. Chang e H. J. Keisler, Model Theory, o traduzione italiana, 
Teoria dei modelli.