PROGRAMMA DEFINITIVO

 LOGICA MATEMATICA (AA 2017-18)
 (Paolo Lipparini)

 (una versione piu' sintetica in preparazione)

 Sistemi assiomatici. Nozione intuitiva di insieme.
 Assioma di estensionalita'. Assioma della coppia. Uso delle definizioni 
e giustificazione dell'introduzione di nuovi simboli. Insieme vuoto. 
Insiemi ereditariamente finiti.
  Formule del linguaggio della teoria degli insiemi. Assioma (schema) di 
separazione.
 Assiomi dell'unione e della potenza (o insieme delle parti).
 Relazioni, funzioni, dominio, codominio, prodotto cartesiano di due 
insiemi.
 Insiemi induttivi. Assioma dell'infinito.
 Intersezione di insiemi. Esistenza dell'insieme di tutte le relazioni 
(funzioni) da un insieme X ad un insieme Y. Ordini parziali, totali, 
buoni ordini. Comparabilita' di buoni ordini. Definizione di ordinale e 
proprieta'.
 Paradossi di Russell e del "piu' grande cardinale". Classi. Insiemi 
visti come classi.

 L'unione di un insieme di ordinali e' un ordinale e coincide col sup. 
La classe Ord di tutti gli ordinali e' bene ordinata dalla relazione di 
appartenenza. Ord e' una classe propria.
 Assioma (schema) di rimpiazzamento.
 Ogni buon ordine e' isomorfo ad un ordinale. Ordinali limite e successori.
 Il piu' piccolo insieme induttivo \omega e' un ordinale; per \omega 
valgono gli assiomi di Dedekind-Peano.
 Induzione trasfinita.
 Definizioni per ricorsione transfinita (facoltativo).
 Somma e prodotto di due ordinali. Definizioni induttive e definizioni 
equivalenti in termini di tipi d'ordine. Proprieta' di monotonia, 
associativa e distributiva a destra, normalita' nel secondo argomento. 
Controesempi alla commutativita', alla distribuivita' e alla 
cancellazione rispetto al primo argomento.
 Divisione con resto fra ordinali. Esponenziazione ordinale. Monotonia. 
Forma normale di Cantor.

 Introduzione ai numeri surreali, definiti come sequenze trasfinite di + 
e -. Ordinamento totale dei surreali. Teorema di esistenza di un elemento 
separatore fra due sottoinsiemi S < T dei surreali.
 Biiezione tra Ord x Ord e Ord.
 Somma di due surreali, proprieta' di monotonia.
 La classe degli ordinali puo' essere immersa nei surreali.
 Somma naturale di due ordinali (definizione ricorsiva). Coincide con la 
somma in senso surreale. (facoltativo)
 Segmenti iniziale di un surreale. Segmento iniziale comune di due 
surreali.
 Definizione alternativa della somma naturale fra ordinali in termini 
delle loro forme normali di Cantor. Dimostrazione dell'equivalenza. 
(facoltativo)
 Somma naturale come minima operazione strettamente monotona in entrambi 
gli argomenti (facoltativo, maggiori dettagli in G. H. Toulmin, Shuffling 
ordinals and transfinite dimension, Proc. London Math. Soc. 4 (1954). 
177--195.)
 Teorema di Carruth: la somma naturale di due ordinali e' il massimo 
ordinale che puo' essere espresso come "mixed sum" (somma rimescolata) 
dei due ordinali. (facoltativo, vedi Toulmin citato o P. W. Carruth, 
Arithmetic of ordinals with applications to the theory of ordered 
Abelian groups, Bull. Amer. Math. Soc. 48 (1942), 262--271.)
 Cenni sulle definizioni di prodotto di due surreali e di prodotto 
naturale di due ordinali. (facoltativo, vedi Gonshor, Capitolo 3, 
Sezione B)
 Per ogni insieme X, non esiste una funzione suriettiva da X a P(X).
 Teorema di Cantor-Schroeder-Bernstein.
 Cardinali come ordinali iniziali (assumendo il proncipio del buon ordinamento).
 Funzione di Hartogs. Dato un cardinale, esiste sempre un cardinale 
maggiore.
 Somma e prodotto di cardinali.
 Sottoinsiemi cofinali di un insieme totalmente ordinato. Cofinalita' 
cf alpha di un ordinale alpha. Si ha cf cf alpha = cf alpha e cf alpha 
e' un cardinale.
 Funzione aleph. Cardinali regolari e singolari.
 |\aleph_\alpha x \aleph_\alpha| = \aleph_\alpha e conseguenze.
 Caratterizzazione degli \aleph_\alpha singolari.
 Assioma di scelta; esempi del suo uso ed esempi in cui non e' 
necessario. Forme equivalenti dell'assioma di scelta. Principio del buon 
ordinamento. Ogni funzione suriettiva ha un'inversa sinistra.
 Somma e prodotto di cardinali assumendo l'assioma di scelta.
 k^{cf k} > k, anzi, cf (k^{cf k}) > cf k
 Definizione di cardinale (debolmente) inaccessibile.
 Un cardinale inaccessibile e' punto fisso della funzione aleph.

 Modelli per il linguaggio della teoria degli insiemi. Modelli standard. 
Ogni insieme transitivo e' modello (nell'interpretazione standard) 
dell'assioma di estensionalita'.
 Chiusura transitiva di un insieme.
 Relazioni (binarie) ben fondate. Rango di un elemento relativamente ad 
una relazione ben fondata. Il rango e' definito anche nel caso di una 
relazione E su una classe, purche' la classe degli "E-predecessori" di 
ciascun elemento sia un insieme.
 Teorema di Mostowski ("collapsing lemma").
 Gerarchia V_\alpha di Von Neumann; \alpha \in V_{ \alpha +1}.
 Assiomi di ZFC soddisfatti da V_\alpha al variare di alpha ([D, Ch. 4, 
Theorem 1.1]).
 Cardinali fortemente inaccessibili.
 Gli assiomi della potenza e di rimpiazzamento implicano l'assioma della 
coppia. [D, Ch. 1, Exercise 6.2(2)]
 Se k e' fortemente inaccessibile, allora V_kappa e' modello 
dell'assioma di rimpiazzamento, quindi di tutta ZFC.
 Skolemizzazione di una teoria del primo ordine e proprieta' (senza 
dimostrazone). Se k e' fortemente inaccessibile, allora il piu' piccolo 
alpha tale che V_\alpha e' modello di ZFC e' <k.
 Assioma di fondazione (la relazione di appartenenza sull'universo e' 
ben fondata). Principio di \in-induzione. Per ogni insieme x esiste un 
alpha tale che x appartiene a V_\alpha.
 Definibilita' della nozione di soddisfacibilita' per modelli (solo 
insiemi, non classi proprie. Vedi [J, formula 12.16 a p. 162 e commento 
successivo]). (facoltativo)
 Classe L degli insiemi costruibili e sue proprieta' (senza dimostrazione).
 Teoremi di Cohen e Easton (senza dimostrazione).
 Il principio del buon ordinamento (e quindi l'assioma di scelta) e' 
equivalente al principio di tricotomia.
 Ogni cardinale sucessore e' regolare.
 Filtri, ultrafiltri, ultraprodotti. Teorema di Los (senza dimostrazione).
 "Trucco di Scott" per rappresentare classi di equivalenza di una 
relazione di equivalenza definita su una classe propria.
 Ultrafiltri k-completi e cardinali misurabili.
 Una relazione e' ben fondata se e solo se non esistono catene infinite 
"E-discendenti".
 L'ultrapotenza di una relazione ben fondata mediante un ultrafiltro 
omega_1 completo e' ben fondata.
 Teorema di Scott: se esiste un cardinale misurabile, allora non V=L. 

 Il programma svolto fino ad ora consiste: 
 - della sezione di Shoenfield sui sistemi assiomatici (link sopra),
 - di Drake, pagina 18 + Exercise 6.2(2) nel Captiolo 1 + Theorem 1.1 nel 
Capitolo 4.
 - Gonshor, Capitolo 2 Sezioni A e B e Teorema 2.8; Capitolo 3, Sezione 
3A fino al Teorema 3.1 incluso (oppure note).
 - dei seguenti capitoli del libro di Jech (esclusi gli esercizi):
 Capitolo 1, tutto,
 Capitolo 2 (esclusi Theorem 2.15 e Corollary 2.16 ),
 Capitolo 3, tutto,
 Capitolo 5 (esclusi Teorema 5.4 e Lemma 5.7) fino alla sezione 
"Infinite Sums and Products" esclusa.
 Capitolo 6 (esclusi il "Collection principle", Theorem 6.5, Corollary 
6.6, Theorem 6.7, Theorem 6.10, Theorem 6.11 e la sezione The 
Bernays-Godel Axiomatic Set Theory)
 Capitolo 7 (esclusi Theorem 7.6, Lemma 7.7, la sezione "Ultrafilters on 
omega") fino alla sezione "Boolean Algebras" esclusa.
 Definition 10.3
 Capitolo 12 (escluse la sezione "Direct Limits of Models", la 
dimostrazione del Theorem 12.3 di Los, Theorem 12.7) fino alla sezione 
"Transitive Models and Delta_0 Formulas" esclusa.
 Capitolo 13, solo Definition 13.1, Theorem 13.3, Theorem 13.16, Theorem 
13.18, Theorem 13.20 tutto senza dimostrazioni.
 Inoltre Theorem 15.18 (Easton) senza dimostrazione, Theorem 17.1 
(Scott).

 Linguaggi infinitari. L'analogo del teorema di Los vale per
 L_{\kappa, \kappa} e per ultrafiltri \kappa-completi.
 Cardinali debolmente e fortemente compatti. Un cardinale misurabile e' 
debolmente compatto.
 Un cardinale e' misurabile se e solo se vale la proprieta' di 
compattezza intermedia ([Chang Keisler, Model theory, Exercise 4.2.6 
(i)-(iii)], facoltativo).
 In particolare, ogni cardinale fortemente compatto e' misurabile. 
 Cenni alla teoria dei "grandi cardinali" e ad alcune loro proprieta'. 
(facoltativo)

 Compattificazione \beta(X) di Stone-Cech di uno spazio X di Tychonoff; 
esistenza e unicita' (senza dimostrazione nel caso generale)
 Caso particolare nel caso in cui X ha la topologia discreta. \beta(X) e' 
l'insieme di tutti gli ultrafiltri su X. \beta(X) e' compatto. (Neil 
Hindman, Dona Strauss, Algebra in the Stone-Cech Compactification, 
Capitolo 3)
 (la parte successiva del programma e' tutta facoltativa, chi desiderasse 
informazioni bibliografiche relative all'argomento e' pregato di 
contattarmi)
 D-compattificazione di un sottoinsieme di uno spazio topologico compatto. 
 Ordine di Comfort per ultrafiltri e sua caratterizzazione mediante le 
D-compattificazioni in beta(X).
 Traccia (o contorno) di una famiglia di ultrafiltri tutti sullo stesso 
insieme X modulo un ultrafiltro E. Rappresenta l'E-limite della famiglia 
in beta(X).
 Equivalenza di ultrafiltri. 
 Variazioni sulla definizione dell'ordine di Comfort (relativamente ad 
una specificata classe di spazi topologici; relativamente a famiglie di 
ultrafiltri o filtri). Problemi aperti.
 Ultrafiltri limite, ultrapotenze limite e generalizzazione del Teorema 
di Los. Problemi relativi agli ultrafiltri limite.
 D-pseudocompattezza. Problemi e generalizzazioni. 
 
 Ideali e corrispondenza coi filtri.
 Somme e prodotti di filtri e ultrafiltri. Isomorfismo dei 
corrispondenti ultraprodotti o prodotti ridotti. La somma di ultrafiltri 
puo' essere ottenuta come caso particolare della traccia, modulo 
equivalenza di ultrafiltri.
 (Pre-)ordine \leq_{RK} di Rudin-Keisler. E' piu' fine dell'ordine di 
Comfort.
 La traccia di una famiglia di ultrafiltri sullo stesso insieme X modulo 
un ultrafiltro E e' \leq_{RK} della somma della famiglia modulo modulo E.

 Libro di testo consigliato: Jech, Set Theory, i numeri di pagina si 
riferiscono a "The Third Millennium Edition", 2003, indicato con [J].
 Alcuni (pochi) argomenti forse non presenti sul libro di Jech si possono 
trovare sul libro di F. R. Drake, Set Theory, an introduction to large 
cardinals, 1974 ([D]).

 La parte sui numeri surreali puo' essere studiata sul libro di Gonshor, 
An introduction to the theory of surreal numbers [G] oppure sulle note 
indicate in pagina web.