PROGRAMMA COMMENTATO 

 LOGICA MATEMATICA (AA 2017-18)
 (Teoria degli insiemi)


 Libro di testo consigliato: Jech, Set Theory, i numeri di pagina si 
riferiscono a "The Third Millennium Edition", 2003. In seguito verra' 
indicato con [J].

 Per alcuni argomenti verranno preparate delle note.

 Alcuni (pochi) argomenti forse non presenti sul libro di Jech si 
possono trovare sul libro di F. R. Drake, Set Theory, an introduction to large 
cardinals, 1974 (nel seguito, [D]).

 La parte sui numeri surreali puo' essere studiata sul libro di Gonshor, 
An introduction to the theory of surreal numbers [G] oppure sulle note 
indicate in pagina web.



 (3 ottobre)

 Caratteristiche e limiti della logica matematica, breve descrizione dei
principali settori della logica matematica. (facoltativo)
 Sistemi assiomatici.
 https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/AA1516/sh.pdf
 (FA PARTE del programma)

 Letture consigliate (NON fanno parte del programma)
 http://www.ams.org/msc/pdfs/classifications2010.pdf
 (Logica Matematica e' compresa nella Sezione 03)
 http://www.ousia.it/SitoOusia/SitoOusia/TestiDiFilosofia/TestiPDF/Quine/Empirismo.pdf
 https://en.wikipedia.org/wiki/Two_Dogmas_of_Empiricism 
 Jeremy Gray, Did Poincare' say set theory is a disease?, The 
Mathematical Intelligencer, December 1991, Volume 13, pp 19-22.
 Chi fosse interessato ad ulteriori approfonimenti puo' consultare la pagina del 
corso del 2015-16: 
 http://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/AA1516/progcomm1.txt


 (4 ottobre)

 Nozione intuitiva di insieme.
 Assioma di estensionalita'.
 (Facoltativo: assioma di estensionalita' nel calcolo dei predicati senza 
uguaglianza.)
 Supporremo che tutti gli "oggetti" di cui parleremo siano insiemi. In 
altre parole, tutti gli oggetti matematici che considereremo si potranno 
considerare come insiemi (o, se si preferisce, potranno essere 
codificati all'interno della teoria degli insiemi). Quindi non ci sara' 
bisogno di altre nozioni oltre a quella di insieme, e alla nozione di 
appartenenza. (Lettura consigliata per chi desiderasse approfondire: 
Ettore Casari, Questioni di filosofia della matematica, Feltrinelli 
1964). Tratteremo solo le nozioni di logica strettamente necessarie per 
la comprensione del corso; si fa riferimento ad un altro corso, o ad 
esempio, al libro di Elliott Mendelson, Introduzione alla logica 
matematica, per chi desiderasse una trattazione completa e rigorosa 
della logica. (non fa parte del programma di quest'anno)
 Presentazione generale del programma del corso.

  Lettura per chi desiderasse approfondire le posizioni dei cosiddetti
semi-intuizionisti: Borel, Baire, Lebesgue (NON fa assolutamente parte
del programma!).
 Hesseling, Dennis E., Gnomes in the fog. The reception of Brouwer's
intuitionism in the 1920s, 2003 (in particolare, il primo capitolo).


 (5 ottobre)

 Assioma della coppia.
 Ipotesi (provvisoria, per ora) dell'esistenza dell'unione di due insiemi. 
Usando l'assioma della coppia e la forma debole dell'assioma dell'unione si 
possono costruire terne, quaterne etc.
 Uso delle definizioni e giustificazione dell'introduzione di nuovi 
simboli.[note in preparazione]
 Insieme vuoto.
 "Successore" di un insieme y, definito come y'= y U {y}. In particolare, 
si definisce 0=insieme vuoto, 1=0'={0}, 2=1'={0,{0}} etc.
 Argomento informale: con le ipotesi assunte finora, si riesce a dimostrare 
l'esistenza di tutti gli insiemi ereditariamente finiti. Un insieme e' 
ereditariamente finito se si puo' ottenere in un numero finito di passi con 
le seguenti costruzioni:
 - l'insieme vuoto e' ereditariamente finito,
 - se x_1, ..., x_n sono ereditariamente finiti, allora {x_1, ..., x_n} e' 
ereditariamente finito. [D, p.18]
 Una giustificazione rigorosa di questa definizione potra' essere data solo 
in seguito.
 Intuitivamente, un insieme e' ereditariamente finito se e solo se e' 
finito, tutti i suoi elementi sono finiti, gli elementi di tutti i suoi 
elementi sono finiti e cosi' via.


 (11 ott)

 Assioma (schema) di separazione. Formule del linguaggio della teoria 
degli insiemi. Giustificazione per l'utilizzo nelle forrmule di simboli 
che non fanno parte del linguaggio [note in preparazione]. Coppie ed 
n-uple ordinate. Assiomi dell'unione e della potenza (esistenza 
dell'insieme delle parti di un insieme). Relazioni, funzioni, dominio, 
codominio, prodotto cartesiano di due insiemi. Insiemi induttivi. 
Assioma dell'infinito.


 (12 ott)

 Intersezione di insiemi. Esistenza dell'insieme di tutte le relazioni 
(funzioni) da un insieme X ad un insieme Y. Ordini parziali, totali, 
buoni ordini. Comparabilita' di buoni ordini. Definizione di ordinale e 
proprieta'.


 (13 ott)

 Paradossi di Russell e del "piu' grande cardinale". Classi. Insiemi 
visti come classi. Cenni alla dimostrazione che ogni buon ordine e' 
isomorfo ad un ordinale. Problemi relativi alla costruzione degli 
insiemi necessari per la dimostrazione.


 (18 ott)

 L'unione di un insieme di ordinali e' un ordinale e coincide col sup. 
La classe Ord di tutti gli ordinali e' bene ordinata dalla relazione di 
appartenenza. Ord e' una classe propria.
 Problemi relativi alla costruzione della "classe quoziente" di una 
classe propria rispetto ad una relazione di equivalenza le cui classi di 
equivalenza sono classi proprie [vedi in seguito il "trucco di Scott"].


 (19 ott)

 Assioma (schema) di rimpiazzamento.
 Ogni buon ordine e' isomorfo ad un ordinale.
 Ordinali limite e successori.


 (20 ott)

 Il piu' piccolo insieme induttivo \omega e' un ordinale; per \omega 
valgono gli assiomi di Dedekind-Peano.
 Induzione trasfinita.
 Definizioni per ricorsione transfinita (facoltativo).


 (25 ott)

 Somma e prodotto di due ordinali. Definizioni induttive e definizioni 
equivalenti in termini di tipi d'ordine. Proprieta' di monotonia, 
associativa e distributiva a destra, normalita' nel secondo argomento. 
Controesempi alla commutativita', alla distribuivita' e alla 
cancellazione rispetto al primo argomento.


 (26 ott)

 Non esiste una funzione iniettiva da n+1 ad n. Quindi se n diverso da m, 
non esiste una corrispondenza biunivoca fra m ed n.
 Divisione con resto fra ordinali.
 Esponenziazione ordinale. Monotonia.
 Forma normale di Cantor.
 Introduzione ai numeri surreali (definiti come sequenze trasfinite di + e -).


 (27 ott)

 Ordinamento totale dei surreali. Teorema di esistenza di un elemento 
separatore fra due sottoinsiemi S < T dei surreali (solo enunciato, per 
ora).
 Biiezione tra Ord x Ord e Ord.
 Somma di due surreali.


 (2 novembre)

 La somma di due surreali e' sempre definita, proprieta' di monotonia.
 Esempi: s+0, 1/2 + 1/2; omega + (-1).
 Cenni (facoltativi) alla rappresentazione di numeri diadici e di numeri 
reali come surreali.
 La classe degli ordinali puo' essere immersa nei surreali.
 Somma naturale di due ordinali (definizione ricorsiva). Coincide con la 
somma in senso surreale. (facoltativo)
 Limiti di sequenze di simboli (vedi note). Esempi: limite della sequenza 
s_n, con s_n costituita da n simboli di piu'. Oppure s_n costituita da 
omega piu' seguiti da n meno.
 Segmenti iniziale di un surreale. Segmento iniziale comune di due 
surreali (vedi note).


 (3 nov)

 Proprieta' dell's-limite di una sequenza crescente di surreali. 
 Proposizione. Sia s_i (i \in I) una sequenza di surreali strettamente 
crescente e senza ultimo elemento, sia s=slim s_i e alpha la lunghezza 
di s. Allora un surreale u e' maggiore di tutti gli s_i se e solo la 
restrizione di u ad alpha e' maggiore o uguale ad s.
 s-limite ed s-limite inverso di un sottoinsieme dei surreali. [note]
 Dimostrazione del teorema che, dati S<T insiemi di surreali, esiste u 
tale che S < u < T.
 Definizione alternativa della somma naturale fra ordinali in termini 
delle loro forme normali di Cantor. Dimostrazione dell'equivalenza. 
(facoltativo)


 (8 nov)
 
 Somma naturale come minima operazione strettamente monotona in entrambi 
gli argomenti (facoltativo, maggiori dettagli in G. H.  Toulmin, 
Shuffling ordinals and transfinite dimension, Proc. London Math. Soc. 4 
(1954). 177--195.)
 Teorema di Carruth: la somma naturale di due ordinali e' il massimo 
ordinale che puo' essere espresso come "mixed sum" (somma rimescolata) 
dei due ordinali. (facoltativo, vedi Toulmin citato o P. W. Carruth, 
Arithmetic of ordinals with applications to the theory of ordered 
Abelian groups, Bull. Amer. Math. Soc. 48 (1942), 262--271. )
 Cenni sulle definizioni di prodotto di due surreali e di prodotto 
naturale di due ordinali. (facoltativo,, vedi Gonshor, Capitolo 3, 
Sezione B)
 Cenni al problema dell'esistenza di una "esponenziazione naturale" sia 
nel caso dei surreali che degli ordinali. (facoltativo; dettagli in H. 
Altman, Intermediate arithmetic operations on ordinal numbers, 
arXiv:1501.05747.)


 (9 nov)

 Per ogni insieme X, non esiste una funzione suriettiva da X a P(X).
 Teorema di Cantor-Schroeder-Bernstein.
 Problemi relativi alla definizione di cardinalita' senza fare uso 
dell'assioma di scelta o di altre assunzioni.
 Cardinali come ordinali iniziali.
 Funzione di Hartogs. Dato un cardinale, esiste sempre un cardinale 
maggiore.
 Somma e prodotto di cardinali.
 Sottoinsiemi cofinali di un insieme totalmente ordinato. Cofinalita' 
cf alpha di un ordinale alpha. Si ha cf cf alpha = cf alpha e cf alpha 
e' un cardinale.
 Funzione aleph. Cardinali regolari e singolari.


 (10 nov)

 |\aleph_\alpha x \aleph_\alpha| = \aleph_\alpha e conseguenze.
 Caratterizzazione degli \aleph_\alpha singolari.
 Assioma di scelta; esempi del suo uso ed esempi in cui non e' 
necessario.
 Cenni ad alcune conseguenze paradossali dell'assioma di scelta. Cenni 
all'assioma di determinatezza. (facoltativo, chi e' interessaro ad 
ulteriori dettagli puo' consultare [J, Capitolo 33])


 (15 nov)

 Forme equivalenti dell'assioma di scelta. Principio del buon 
ordinamento. Ogni funzione suriettiva ha un'inversa sinistra.
 Somma e prodotto di cardinali assumendo l'assioma di scelta.
 k^{cf k} > k, anzi, cf (k^{cf k}) > cf k
 Definizione di cardinale (debolmente) inaccessibile.
 Un cardinale inaccessibile e' punto fisso della funzione aleph.


 (16 nov)

 Modelli per il linguaggio della teoria degli insiemi. Modelli standard. 
Ogni insieme transitivo e' modello (nell'interpretazione standard) 
dell'assioma di estensionalita'.
 Chiusura transitiva di un insieme.
 Relazioni (binarie) ben fondate. Rango di un elemento relativamente ad 
una relazione ben fondata. Il rango e' definito anche nel caso di una 
relazione E su una classe, purche' la classe degli "E-predecessori" di 
ciascun elemento sia un insieme.
 Teorema di Mostowski ("collapsing lemma").


 (17 nov)
 
 Gerarchia V_\alpha di Von Neumann; \alpha \in V_{ \alpha +1}.
 Assiomi di ZFC soddisfatti da V_\alpha al variare di alpha (escluso 
rimpiazzamento, per ora, vedi [D, Ch. 4, Theorem 1.1]).
 Cardinali fortemente inaccessibili.
 Gli assiomi della potenza e di rimpiazzamento implicano l'assioma della 
coppia. [D, Ch. 1, Exercise 6.2(2)]


 (22 nov)

 Se k e' fortemente inaccessibile, allora V_kappa e' modello 
dell'assioma di rimpiazzamento, quindi di tutta ZFC.
 Skolemizzazione di una teoria del primo ordine e proprieta' (senza 
dimostrazone). Se k e' fortemente inaccessibile, allora il piu' piccolo 
alpha tale che V_\alpha e' modello di ZFC e' <k.
 Assioma di fondazione (la relazione di appartenenza sull'universo e' 
ben fondata). Principio di \in-induzione. Per ogni insieme x esiste un 
alpha tale che x appartiene a V_\alpha.


 (23 nov)

 Definibilita' della nozione di soddisfacibilita' per modelli (solo 
insiemi, non classi proprie. Vedi [J, formula 12.16 a p. 162 e commento 
successivo]). (facoltativo)
 Classe L degli insiemi costruibili e sue proprieta' (senza dimostrazione).
 Teoremi di Cohen e Easton (senza dimostrazione).


 (24 nov)

 Il principio del buon ordinamento (e quindi l'assioma di scelta) e' 
equivalente al principio di tricotomia.
 Ogni cardinale sucessore e' regolare.
 Filtri, ultrafiltri, ultraprodotti. Teorema di Los (senza dimostrazione).
 "Trucco di Scott" per rappresentare classi di equivalenza di una 
relazione di equivalenza definita su una classe propria.
 Ultrafiltri k-completi e cardinali misurabili.
 Una relazione e' ben fondata se e solo se non esistono catene infinite 
"E-discendenti".
 L'ultrapotenza di una relazione ben fondata mediante un ultrafiltro 
omega_1 completo e' ben fondata.
 Teorema di Scott: se esiste un cardinale misurabile, allora non V=L. 
Prima parte della dimostrazione.


 Il programma svolto fino al 24 novembre consiste: 
 - della sezione di Shoenfield sui sistemi assiomatici (link sopra),
 - di alcune note (in preparazione),
 - di Drake, pagina 18 + Exercise 6.2(2) nel Captiolo 1 + Theorem 1.1 nel 
Capitolo 4.
 - Gonshor, Capitolo 2 Sezioni A e B e Teorema 2.8; Capitolo 3, Sezione 
3A fino al Teorema 3.1 incluso. Per alcune parti verranno distribuite 
delle note (in preparazione).
 - dei seguenti capitoli del libro di Jech (esclusi gli esercizi):
 Capitolo 1, tutto,
 Capitolo 2 (esclusi Theorem 2.15 e Corollary 2.16 ),
 Capitolo 3, tutto,
 Capitolo 5 (esclusi Teorema 5.4 e Lemma 5.7) fino alla sezione 
"Infinite Sums and Products" esclusa.
 Capitolo 6 (esclusi il "Collection principle", Theorem 6.5, Corollary 
6.6, Theorem 6.7, Theorem 6.10, Theorem 6.11 e la sezione The 
Bernays-Godel Axiomatic Set Theory)
 Capitolo 7 (esclusi Theorem 7.6, Lemma 7.7, la sezione "Ultrafilters on 
omega") fino alla sezione "Boolean Algebras" esclusa.
 Definition 10.3
 Capitolo 12 (escluse la sezione "Direct Limits of Models", la 
dimostrazione del Theorem 12.3 di Los, Theorem 12.7) fino alla sezione 
"Transitive Models and Delta_0 Formulas" esclusa.
 Capitolo 13, solo Definition 13.1, Theorem 13.3, Theorem 13.16, Theorem 
13.18, Theorem 13.20 tutto senza dimostrazioni.
 Inoltre Theorem 15.18 (Easton) senza dimostrazione, Theorem 17.1 
(Scott) (dimostrazione in corso).


 (29 nov)

 Dimostrazione del Teorema di Scott.
 Linguaggi infinitari. L'analogo del teorema di Los vale per
 L_{\kappa, \kappa} e per ultrafiltri \kappa-completi.
 Cardinali debolmente e fortemente compatti. Un cardinale misurabile e' 
debolmente compatto.
 

 (30 nov)
 
 Un cardinale e' misurabile se e solo se vale la proprieta' di 
compattezza intermedia ([Chang Keisler, Model theory, Exercise 4.2.6 
(i)-(iii)], facoltativo).
 In particolare, ogni cardinale fortemente compatto e' misurabile. 
 Cenni alla teoria dei "grandi cardinali" e ad alcune loro proprieta'. 
(facoltativo)
 Compattificazione \beta(X) di Stone-Cech di uno spazio X di Tychonoff; 
esistenza e unicita' (senza dimostrazione nel caso generale)
 Caso particolare nel caso in cui X ha la topologia discreta. \beta(X) 
e' l'insieme di tutti gli ultrafiltri su X. \beta(X) e' compatto.


 (1 dic)

 Dimostrazione che \beta(X) soddisfa alle proprieta' richieste nella 
definizione di compattificazione di Stone-Cech nel caso in cui X ha la 
topologia discreta. (Neil Hindman, Dona Strauss, Algebra in the Stone-Cech 
Compactification, Capitolo 3)
 (la parte successiva del programma e' tutta facoltativa, chi desiderasse 
informazioni bibliografiche relative all'argomento e' pregato di 
contattarmi)


 (6 dic)

 D-compattificazione di un sottoinsieme di uno spazio topologico compatto. 
 Ordine di Comfort per ultrafiltri e sua caratterizzazione mediante le 
D-compattificazioni in beta(X).
 Traccia (o contorno) di una famiglia di ultrafiltri tutti sullo stesso 
insieme X modulo un ultrafiltro E. Rappresenta l'E-limite della famiglia 
in beta(X).


 (7 dic)

 Equivalenza di ultrafiltri. 
 Variazioni sulla definizione dell'ordine di Comfort (relativamente ad 
una specificata classe di spazi topologici; relativamente a famiglie di 
ultrafiltri o filtri). Problemi aperti.
 Definizione di F-compattezza sequenza per sequenza, con F famiglia di 
filtri su uno stesso insieme.
 

 (13 dic)
 
 Ultrafiltri limite, ultrapotenze limite e generalizzazione del Teorema 
di Los. Problemi relativi agli ultrafiltri limite.
 D-pseudocompattezza. Problemi e generalizzazioni. 


 (14 dic)
 
 Ideali e corrispondenza coi filtri.
 Somme e prodotti di filtri e ultrafiltri. Isomorfismo dei 
corrispondenti ultraprodotti o prodotti ridotti. La somma di ultrafiltri 
puo' essere ottenuta come caso particolare della traccia, modulo 
equivalenza di ultrafiltri.


 (15 dic)

 (Pre-)ordine \leq_{RK} di Rudin-Keisler. E' piu' fine dell'ordine di 
Comfort.
 La traccia di una famiglia di ultrafiltri sullo stesso insieme X modulo 
un ultrafiltro E e' \leq_{RK} della somma della famiglia modulo modulo E.


 (21 dic)
 
 Problemi relativi ad una possibile caratterizzazione in senso di teoria 
dei modelli dell'ordine di Comfort e delle sue varianti.