PRESENTAZIONE DEL CORSO
 (Logica Matematica - Teoria degli Insiemi)
 (AA 2017-18)


 In breve, l'obiettivo del corso e' quello di presentare le ipotesi 
comunemente usate quando si tratta di insiemi. In questo modo si riesce 
ad inserire tutta o quasi la matematica in un quadro uniforme e comune 
in cui le ipotesi che si assumono sono rese esplicite. 
 Piu' in particolare, si studia la nozione di cardinalita', 
probabilmente gia' nota, e soprattutto la nozione di numero ordinale. I 
numeri ordinali servono, per esempio, quando si deve descrivere come 
iterare un procedimento all'infinito (un esempio piu' sotto).
 Le ipotesi usuali (gli assiomi) non descrivono tutto completamente, ad 
esempio, non determinano se esistono cardinalita' strettamente comprese 
fra il numerabile e la cardinalita' di R, dove per "numerabile" si 
intendela cardinalita' di N. Un altro assioma discusso (ma solitamente 
accettato) e' l'assioma di scelta. Tutti questi assiomi coinvolgono 
molti problemi matematici che apparentemente non sembrerebbero collegati 
con la teoria degli insiemi.
 La teoria degli insiemi e' sostanzialmente una "teoria dell'infinito". 
Si puo' pensare di ammettere "infiniti sempre piu' grandi", di solito 
chiamati "grandi cardinali". Anche qui, contrariamente a quanto ci si 
potrebbe aspettare, vengono coinvolti problemi matematici che a prima 
vista non sembrerebbero collegati con gli insiemi.
 Una volta spiegato tutto questo per bene... direi che e' gia' finito 
il semestre! ;)


 ESEMPI. Applicazione elementare dell'idea di cardinalita'. L'insieme R 
dei numeri reali ha cardinalita' maggiore del numerabile, quindi 
qualunque sottoinsieme numerabile di R e' un sottoinsieme proprio. Per 
esempio, l'insieme dei numeri algebrici e' numerabile, quindi esistono 
numeri trascendenti.
 Esempio di iterazione transfinita usando i numeri ordinali. Partendo da 
un sottoinsieme X di R, costruisco X_1 togliendo ad X i suoi punti 
isolati. X_1 puo' avere nuovi punti isolati, li tolgo costruendo X_2 e 
cosi' via. Prendo l'intersezione di tutti gli X_n, questo e' il passo 
"infinito". Ma questo X_{infinito} puo' avere punti isolati, 
togliendoli, arrivo al passo "infinito+1". Con costruzioni di questo 
tipo Cantor ha dimostrato che ogni chiuso di R infinito non numerabile ha la 
stessa cardinalita' di R.
 Oppure, posso costruire il derivato infinito di un gruppo, questo e' 
G^{(infinito)}, l'intersezione di tutti i G^{(n)}. Se calcolo il 
derivato di G^{(infinito)}, ottengo G^{(infinito+1)} e cosi' via.
 Per presentare con precisione costruzioni di questo tipo e' necessario 
introdurre i numeri ordinali.
 [Per chi pensasse che non c'e' nessun problema con le costruzioni 
infinite presentate sopra, chi saprebbe dire per quanto posso continuare 
e quando sono costretto a fermarmi?]