Programma del corso
 Logica matematica 1 AA 2016-17

      Algebra universale.
 Operazioni. Strutture algebriche (per brevita', algebre). Esempi. 
Reticoli (sia come algebre che come insiemi parzialmente ordinati). 
Reticoli completi. Semireticoli, quasigruppi. Sottoalgebre, reticolo 
delle sottoalgebre di un'algebra; sottoalgebra generata da un 
sottoinsieme e sua descrizione. Congruenze; algebre quozienti; reticolo 
delle congruenze di un'algebra. Il reticolo delle congruenze di 
un'algebra A e' un sottoreticolo del reticolo delle relazioni di 
equivalenza su A. Tipi di similarita'. Morfismi; isomorfismi. Prodotti. 
Caratterizzazione "interna" del prodotto di due algebre.
 Termini. Algebre assolutamente libere (facoltativo). Algebre libere; 
esempi e teorema di esistenza. Teorema di Birkhoff (dimostrazione 
facoltativa). Varieta'.
 Congruenze permutabili e classi di algebre a congruenze permutabili. 
Teorema di Mal'cev e alcune conseguenze. Reticoli modulari e loro 
caratterizzazione mediante l'omissione del "pentagono" N5. Reticoli 
arguesiani. Un reticolo di relazioni di equivalenza (in particolare, di 
congruenze) permutabili e' modulare e arguesiano.
 Termini-maggioranza; caratterizzazione delle varieta' con un 
termine-maggioranza mediante una condizione di Mal'cev. Condizione di 
Mal'cev per le varieta' a congruenze distribuitve
 La "term condition" e il "Lemma di Lampe". Reticoli che (se reticoli di 
congruenze di un'algebra) implicano la term condition.
 Esistenza e proprieta' del commutatore di congruenze in un'algebra in 
una varieta' a congruenze modulari (senza dimostrazione). 
Termini-differenza e applicazioni. Una varieta' a congruenze modulari e' 
a congruenze arguesiane.
 Parte opzionale: commutatore in algebre qualunque (definito usando la 
generalizzazione della term condition). Termini differenza-deboli e 
conseguenze della loro esistenza. Ad esempio, se M_3 e' uno 
0-1-sottoreticolo del reticolo delle congruenze di A e A ha un 
termine-differenza debole allora A soddisfa alla term condition.
 Cenni sull'evoluzione dell'algebra universale fino alla "Tame 
Congruence Theory" di Hobby e McKenzie e alle estensioni di Kearnes e 
Kiss. Risultati sulle varieta' n-permutabili. (facoltativo).

     Teoria degli insiemi.
 Trattazione intuitiva. Paradossi di Russell e di Cantor della 
"cardinalita dell'insieme di tutti gli insiemi". Nozione intuitiva di 
classe propria.
 Sistemi assiomatici. Formule. Assiomi di Zermelo-Fraenkel. Prodotti 
cartesiani, relazioni, funzioni.
 Parte opzionale: buoni ordini. Ordinali. Induzione e ricorsione 
transfinita. Assioma della scelta. Equivalenza col Principio del buon 
ordinamento.


Il programma di algebra universale e' costituito dalle note disponibili 
in rete. INOLTRE, per la parte sui reticoli:

 - le note di G. Pareschi reperibili a
 www.mat.uniroma2.it/~gealbis/EALreticoli.pdf
 solo fino alla Proposizione 2.2, inoltre la def 3.11. la Sezione 5 sui 
sottoreticoli e il Teorema 1 a p. 11

o, alternativamente,

 - Clifford Bergman, Universal Algebra: Fundamentals and Selected 
Topics, CRC Press, 2012,
 la Definizione 1.7, la Sezione 2.1 fino alla Definizione 2.2 (esclusa), 
inoltre la Definizione 2.5(1), il Teorema 2.10(a)<=>(c) senza 
dimostrazione.

 INOLTRE, fanno parte del programma le seguenti parti del libro di 
Bergman (argomenti non presenti sulle note!):
 Sezione 1.2, la Sezione 2.2 fino a tutta pagina 26, la Definizione 
2.13, la Proposizione 2.14, i Teoremi 2.21 e 3.11 e dal Teorema 4.64 al 
Corollario 4.67.

 Inoltre la descrizione del gruppo libero su un insieme: 
https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Free_group&oldid=728805336

 Naturalmente, gran parte del programma di algebra universale puo' 
essere studiato sul libro di Bergman, se cosi' preferite.

 Il programma di teoria degli insiemi e' costituito dalle seguenti parti 
del libro di Jech, Set Theory (third millennium edition) del 2002.

Capitolo 1 (tranne gli esercizi), Capitolo 2 fino a definizione 2.10 
inclusa, inoltre Teorema 2.12 senza dim., Teorema 2.14, Teorema 3.1, 
Teorema 4.6 (senza dimostrazione); Capitolo 5 fino a Teorema 5.1 
incluso; Capitolo 6 (solo l'assioma di regolarita', la definizione di 
V_alpha, il Lemma 6.3 e il Teorema 6.4, tutto senza dim.)

 Inoltre Shoenfield, Sistemi assiomatici: 
https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/AA1516/sh.pdf