PROGRAMMA COMMENTATO
(o, se preferite, commenti logorroici sul programma)

LOGICA MATEMATICA 1 (AA 2016-17)

Paolo Lipparini

(dal 26 set)



Per la prima meta' del programma seguiro' parte del seguente libro, 
abbreviato in [B]; gran parte del programma svolto e' comunque inserito 
nelle note del corso.

 Clifford Bergman, Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics, 
CRC Press, 2012.

 (NB: a volte la terminologia o le notazioni usate a lezione sono 
diverse; anche l'ordine degli argomenti potrebbe essere diverso)

 Sui reticoli si possono consultare le note di G. Pareschi reperibili al 
seguente collegamento:

www.mat.uniroma2.it/~gealbis/EALreticoli.pdf

 (per ora e' sufficiente arrivare fino alla Proposizione 2.2 + la def 3.11 + la 
Sezione 5 sui sottoreticoli +  Teorema 1)

 Puo' essere utile anche la sezione matematica della voce sulla Treccani:

http://www.treccani.it/enciclopedia/reticolo/

La definizione di reticolo modulare e la caratterizzazione mediante 
l'omissione del "pentagono" N_5 si possono trovare in [B, def. 2.5(b) e 
Teorema 2.8].

Tutto questo si trova anche nel capitolo XIV di S. Mac Lane e G. 
Birkhoff, Algebra (esiste la traduzione in italiano)




(26 set)

 Presentazione del corso. Introduzione informale alla teoria degli 
insiemi e ai suoi scopi, in particolare come assiomatizzazione precisa e 
formalizzazione dei metodi usati in matematica e, sostanzialmente, come 
teoria necessaria per trattare l'infinito.
 Teoria generale dei sistemi algebrici, o algebra generale; per brevita' 
e per adeguarsi alla consuetudine: *Algebra universale*.
 Algebre (definizione provvisoria, nel senso di strutture algebriche, 
cioe' insiemi non vuoti e dotati un certo numero di operazioni n-arie, n 
variabile, senza limiti su n, e nemmeno sul numero delle operazioni).
 Un'operazione n-aria e' una funzione da A^n ad A; in particolare, si 
assume che le operazioni siano totali, cioe' sempre definite per ogni 
n-upla di elementi di A; interne, cioe' non dipendono da elementi non 
appartenenti ad A (cf. prodotto di un vettore per uno scalare negli 
spazi vettoriali: NON e' in genere un'operazione nel senso considerato 
qui; ma vedi prossima lezione!). Si assume inoltre che n sia finito. (Si 
possono considerare operazioni infinitarie, e operazioni parziali, o 
entrambe le cose contemporaneamente, viene una teoria molto piu' 
complessa che almeno per ora non prenderemo in considerazione).
 Possibile interpretazione delle operazioni 0-arie come costanti.
 Sottoalgebra di un'algebra A (sottoinsieme non vuoto del sostegno 
dell'algebra, chiuso rispetto alle operazioni di A, e che ha per 
operazioni le restrizioni delle operazioni di A). Esempio: in questo 
senso, una sottoalgebra di un gruppo, considerato come insieme con una 
sola operazione binaria non e' necessariamente un sottogruppo (per 
esempio, (N,+) sarebbe una sottoalgebra di (Z,+)). Se invece, come 
gruppo, si intende una struttura con un'operazione binaria e con 
un'operazione unaria (l'inverso), le nozioni di sottoalgebra e di 
sottogruppo coincidono.


(martedi' 27 settembre)

 Esempio: spazi vettoriali (su un campo K) considerati come algebre: le 
operazioni sono le operazioni di gruppo, piu' un'operazione unaria per 
ogni elemento di K.
 L'intersezione di una famiglia arbitraria di sottoalgebre e' una 
sottoalgebra (oppure l'insieme vuoto). Sottoalgebra generata da un 
sottoinsieme (potrebbe essere necessario includere anche il vuoto).
 Reticoli come insiemi parzialmente ordinati (NB: in inglese un reticolo 
si dice "lattice"). Esempi: R con l'ordine usuale e' un reticolo; piu' 
in generale, qualunque insieme totalmente ordinato e' un reticolo. I 
naturali positivi con la relazione di divisibilita'.
 Le sottoalgebra di un'algebra (incluso eventualmente l'insieme vuoto) 
formano un reticolo (l'ordine e' l'inclusione fra i sostegni delle 
sottoalgebre).
 Congruenze. Quoziente di un'algebra rispetto ad una congruenza. 
 Intersezione di congruenze. Massimo e minimo nell'insieme (ordinato per 
inclusione) delle congruenze di un'algebra e rispettivi quozienti.


(mercoledi' 28)

 L'insieme delle congruenze di un'algebra e' un reticolo.
 Tipi di similarita'. Algebre di un certo tipo.
 D'ora in poi, se non specificato diversamente, tutte le algebre prese 
in considerazione saranno algebre per un certo tipo fissato una volta 
per tutte (l'esatta definizione di tipo di similarita' e' irrilevante; 
va considerato come una specie di "registro" dato a priori che fa 
corrispondere le operazioni delle varie algebre in maniera biunivoca, e 
rispettando la a-rieta'. Piu' in generale e' utile - in certe situazioni 
necessario - pensare che, per ogni operazione presa in considerazione, 
il tipo contiene un simbolo apposito, diciamo f, che rappresenta questa 
operazione; l'operazione corrispondente nell'algebra A si puo' indicare 
con f^A. Vedi la discussione all'inizio della sezione 1.3 in [B]).
 Morfismi fra algebre. Le congruenze sono esattamente nuclei di morfismi 
(qui per nucleo di phi:A --> B si intende la relazione di equivalenza 
KerEq(phi)={(a,a')| phi(a) = phi (a')}).
 Sottoalgebre e congruenze dell'insieme totalmente ordinato con tre 
elementi (con operazione min; equivalentemente, con min e max).
 Possibili applicazioni alla sociologia: termini maggioranza [B, 
equazione 2-3 a p. 29 oppure note]


Il programma svolto finora (28 set) corrisponde alle seguenti parti di [B]:

fino a def 1.8 (tranne per ora le definizioni 1.6 e  1.7) + Prop. 1.12 + def 
1.13 + (da def 1.18 a def. 1.20) + prop. 1.23 + (Capitolo 2 fino a def. 
2.1)

(se non indicato diversamente, "fino a def. 1.8" etc., significa "fino a def. 
1.8 inclusa" etc.)

Tutto e' stato anche inserito nelle note del corso, tranne alcuni esempi 
in [B, sezione 1.2] e la parte sui reticoli del Capitolo 2 (che fanno 
comunque parte del progamma)


(lunedi' 3 ottobre)

 Un insieme linearmente ordinato con tre elementi e con operazione min 
(equivalentemente, con operazioni min e max) mostra che nessuna delle 
seguenti affermazioni e' necessariamente vera, dove c e d sono 
congruenze di un'algebra A, ^ e v denotano le operazioni del reticolo 
delle congruenze di A e  1_A  e  0_A sono la congruenza massima e 
minima di A.
 -  tutti i blocchi (classi di equivalenza) di una congruenza hanno la stessa 
cardinalita'.
 - se due congruenze hanno in comune un blocco, allora le congruenze 
sono uguali.
 - se c v d = 1_A  e  c ^ d = 0_A allora A e' isomorfa al prodotto di A/c e 
A/d.
 (tutte le affermazioni precedenti sono pero' vere nel caso dei gruppi)

 Ridotto di un tipo di similarita' (e di un'algebra).
 Prodotti di una famiglia di algebre. [B, def. 1.9, oppure note]
 Isomorfismi. L'inversa di un isomorfismo e' ancora un morfismo.
 Quasigruppi. [B, def. 1.6]


(martedi' 4)

 Nozione intuitiva di insieme.
 Paradosso di Russell. Paradosso di Cantor della "cardinalita 
dell'insieme di tutti gli insiemi".
 Nozione intuitiva di classe propria (come collezione "troppo grande per 
essere membro di un insieme"). [note per il corso]

 Termini (relativamente ad un insieme F di simboli di operazione e ad un 
insieme X di variabili). L'insieme dei termini ha naturalmente la 
struttura di un'algebra del tipo (determinato da) F, detta algebra 
assolutamente libera (facoltativo, [B, def. 4.19 e 4.20])

 Enunciato del teorema di Birkhoff. [note per il corso]


(mercoledi' 5)

 Valutazione di un termine (tramite un'assegnazione alle variabili di 
valori in un'algebra A). Ogni valutazione induce un omomorfismo 
dall'algebra assolutamente libera ad A. [B, teorema 4.21]
 La sottoalgebra di A generata da C e' l'insieme dei t(c,d,...), con t 
termine e c, d,... in C. [B, Teorema 4.32(3), oppure note]
 Caratterizzazione dei reticoli (nel senso di algebre) mediante 
identita', ed equivalenza con la definizione nel senso di ordini 
parziali. [B, def. 1.7 e commento dopo def. 2.1]


(lunedi' 10)

Nozione di algebra libera (in una classe di algebre K) su un insieme X 
di generatori. Esempi: Z[x,y,...] per gli anelli commutativi con 1; Z^n 
per i gruppi abeliani [note]. Cenni al gruppo libero generato da n elementi 
(nel caso di gruppi non necessariamente abeliani). Vedi
 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Free_group&oldid=728805336  
 Se K e' chiusa per prodotti arbitrari e per sottostrutture, esistono 
algebre libere su insiemi di cardinalita' arbitraria. Un'algebra libera 
in K su un insieme di n elementi soddisfa esattamente alle identita' 
dipendenti da n variabili che valgono in tutte le algebre di K [note].


(11 ott) 
 Composizione "o" di relazioni binarie su un insieme A. Se c e d sono 
relazioni compatibili (in alcuni testi dette ammissibili, oppure con la 
proprieta' di sostituzione) su un algebra A, allora anche c o d e' 
compatibile [B, esercizio 1.26.1 oppure note].
 Siano c e d congruenze di un'algebra A, ^ e v denotino le operazioni 
del reticolo delle congruenze di A e siano 1_A e 0_A la congruenza 
massima e minima di A. Se c o d = 1_A e c ^ d = 0_A allora A e' isomorfa 
al prodotto di A/c e A/d.  [B, Teorema 3.11]
 Descrizione esplicita della piu' piccola relazione di equivalenza r che 
contiene due relazioni di equivalenza c, d date: r e' l'unione di c o d 
o c o d o... (con n fattori, al variare di n nei naturali). [B, esercizio 
1.26.2 oppure note]
 Congruenze permutabili e classi di algebre a congruenze permutabili.


(12 ott)

Una relazione binaria c transitiva e riflessiva su un'algebra A e' 
compatibile se e solo se, per ogni operazione f del tipo di A, diciamo, 
f sia n-aria, e per ogni n-upla a_1,...,a_n di elementi di A, per ogni b 
in A e per ogni i in {1,...,n}, si ha che f(a_1, ..., a_{i-1}, a_i, 
a_{i+1},...,a_n) e f(a_1, ..., a_{i-1}, b, a_{i+1},...,a_n) sono in 
relazione tramite c (gli argomenti di f sono uguali, tranne l'i-esimo).
 Il reticolo delle congruenze di un'algebra A e' un sottoreticolo del 
reticolo delle relazioni di equivalenza su A (la parte non banale e' 
verificare che, per c e d congruenze, c v d e' la piu' piccola relazione 
di equivalenza che contiene c e d).
 Due congruenze permutano se e solo se c o d = c v d [note].
 Teorena di Mal'cev (caratterizzazione delle varieta' con algebre a 
congruenze permutabili). Esempi: gruppi, quasigruppi [B, Teorema 4.64 e 
commenti seguenti].


(lunedi' 17 ottobre)

 Una relazione riflessiva e compatibile in un'algebra appartenente ad 
una varieta' a congruenze permutabili e' un congruenza. L'insieme 
totalmente ordinato con due elementi (come reticolo) e' un'algebra a 
congruenze permutabili, ma non tutte le relazioni riflessive e 
compatibili sono congruenze.
 Reticoli modulari [B, def. 2.5(b)]. Un reticolo e' modulare se e solo 
se non ha sottoreticoli isomorfi al pentagono N_5 [B, Teorema 2.8]. Un 
reticolo di congruenze permutabili e' modulare.


(18 ottobre)

Semireticoli (semilattices [B, def. 1.7]). Reticoli distributivi e legge 
duale [B, sezione 2.2 fino a tutta pagina 26]. Caratterizzazione dei 
reticoli distributivi mediante l'omissione di sottoreticoli isomorfi ad 
N_5 ed M_3 ([B, Teorema 2.10], senza dimostrazione). Reticoli arguesiani 
[note]. Cenni sugli spazi proiettivi desarguesiani. Un reticolo di 
relazioni di equivalenza permutabili e' arguesiano; in particolare, lo 
e' il reticolo delle congruenze di un'algebra a congruenze permutabili; 
in particolare, lo e' il reticolo dei sottogruppi normali di un gruppo [note].


(19 ottobre)

 Ogni algebra di tipo F generata da |X| elementi e' immagine omomorfa 
dell'algebra assolutamente libera per F su un insieme di cardinalita' 
|X|. Quindi l'algebra assolutamente libera e' l'algebra libera nella 
classe di tutte le algebre di tipo F (facoltativo) [note].
 Teorema di Birkhoff (dimostrazione facoltativa) [note].
 Cenni (tutti facoltativi) sulle identita' arguesiane superiori e sui 
teoremi di Haiman (M. Haiman, Arguesian lattices which are not type-1, 
Algebra Universalis 28 (1991),128-137.), Day e Freese (A. Day e R. 
Freese, A characterization of identities implying congruence modularity 
I, Canad. J. Math. 32 (1980), 1140-1167.), Freese, Hermann e Huhn (R. 
Freese, C. Hermann e A. P. Huhn, On some identities valid in modular 
congruence varieties, Algebra Universalis 12 (1981), 322-334), Palfy e 
Szabo (P. P. Palfy and Cs. Szabo, An identity for subgroup lattices of 
abelian groups, Algebra Universalis 33 (1995), 191-195) e ai problemi 
connessi. Il reticolo di un'algebra appartenente ad una varieta' a 
congruenze modulari soddisfa alle identita' arguesiane superiori (senza 
dimostrazione).


(24 ott)

 Se V e' a congrueze permutabili e considero V' in un tipo ampliato in 
modo che in V' valgono tutte le identita' di V, allora anche V' e' a 
congruenze permutabili (esempio: siccome i gruppi sono a congruenze 
permutabili, allora anche gli anelli sono a congruenze permutabili).
 Brevi cenni all'evoluzione dello studio delle varieta': da varieta' 
aritmetiche (a congruenze sia permutabili che distributive) allo studio 
delle varieta' distributive e delle varieta' permutabili. Problema 
aperto: esiste qualche proprieta' "naturale" che vale sia in varieta' a 
congruenze distributive che in varieta' a congruenze permutabiili ma che 
non vale in varieta' a congruenze modulari? (facoltativo)
 Caraterizzazione mediante condizione di Mal'cev e relazione sulle 
congruenze delle varieta' con un termine-maggioranza. Corollario: le 
algebre con un termine maggioranza hanno il reticolo delle congruenze 
distributivo. [note]


(25 ott)
 I reticoli hanno un termine-maggioranza, quindi il reticolo delle 
congruenze e' distributivo. [note, oppure B, Teorema 2.21]
 Una varieta' V soddisfa ad (A) a(b o g) c ag o ab se e solo se (B) soddifa 
ad a(b o g) c ab o ag ed e' a congruenze permutabili se e solo se (C) e' a 
congruenze sia permutabili che distributive (tali varieta' si dicono 
aritmetiche) (qui a, b, g sono congruenze di un'algebra qualunque di V, o 
indica la composizione, la giustapposizione ab indica intersezione e c 
indica sottoinsieme, cioe'  "contenuto o uguale")[note, Oss. 12.3]
 Caratterizzazione mediante una condizione di Mal'cev di a(b o g) c ab 
o ag o ab ... (il simbolo o compare n+1 volte, per un certo n fissato).
 Cenni all'algoritmo di Pixley-Wille, nell'interpretazione di Czedli 
tramite grafi (facoltativo).


(26 ott)

 Condizione di Mal'cev per le varieta' a congruenze distribuitve [B, da 
Teorema 4.66 a Cor. 4.67].
 Cenni informali al problema se ogni identita' di congruenze (espressa nel 
linguaggio dei reticoli) e' equivalente ad una condizione di Mal'cev (non 
debole) (facoltativo).
 Reticoli completi. [B, Def. 2.13]


(7 novembre)

 Un semireticolo (per ^) completo con 1 e' un reticolo completo [B, 
Proposizione 2.14].
 La "term condition" (TC). Un gruppo e' abeliano se e solo se soddisfa a 
TC.
 Lemma di Lampe (se gamma ^ alpha=0 e gamma ^ beta = 0 allora vale il 
caso particolare di TC in cui alcuni elementi sono congrui modulo gamma 
e altri modulo alpha v beta) [note].


(8 novembre)

L'unione di una successione crescente numerabile di congruenze e' una 
congruenza. Se la successione e' strettamente crescente, allora 
l'unione non e' finitamente generata. Esempio di un reticolo L tale 
che, per ogni algebra A, se Con(A) isomorfo ad L, allora A soddisfa a 
TC.  Un semigruppo che soddisfa a TC soddisfa a xyzw=xzyw. In un 
semigruppo che soddisfa a TC, se xx=x per un certo x, allora yxz=yz, 
per ogni y e z. Cenni alla dimostrazione del teorema di Taylor (esiste 
un reticolo che non e' rappresentabile come Con(S) per S semigruppo: 
costruzione di un reticolo L tale che per ogni l in L esiste l' 
maggiore o uguale ad l tale che l'insieme degli elementi maggiori o 
uguali ad l' e' un reticolo che "implica" TC. Si giunge ad un assurdo 
usando le proprieta' precedenti dei semigruppi con TC e prendendo di 
volta in volta opportuni quozienti) [note].


(9 novembre)

Confronto fra le proprieta' formali delle operazioni su ideali di un 
anello e sottogruppi normali di un gruppo: intersezione, somma, 
prodotto/commutatore. Teorema (senza dimostrazione) dell'esistenza del 
commutatore fra congruenze di un'algebra in una varieta' a congruenze 
modulari: il commutatore [alpha, beta] di alpha e beta soddisfa a 
 - [alpha, beta] contenuto o uguale ad alpha ^ beta
 - [alpha, beta] = [beta, alpha]
 - [alpha, beta v gamma] =  [alpha, beta] v [alpha, gamma]
 - monotonicita' in entrambi gli argomenti.
 Inoltre esiste un "termine differenza" d(x,y,z) che soddisfa a 
 - x= d(x, y, y)
 - d(x, x, y) [alpha, alpha] y, se x alpha y
 Conseguenze (con dimostrazione; "c" indica contenuto o uguale; se R ed 
S sono due relazioni binarie, RS indica l'intersezione):
 (risultati di permutabilita' modulo il commutatore)
 - alpha o beta c beta o alpha o [beta, beta]
 - se [beta, beta] c alpha e [alpha, alpha] c beta, allora alpha e beta 
permutano, cioe' alpha o beta = beta o alpha
 - (senza dimostrazione) alpha v beta = alpha o beta o ([alpha, alpha] v 
[beta, beta])
 (alcune espressioni in varieta' a congruenza modulari si calcolano in 
due tempi: in un primo tempo come se valesse la permutabilita', poi come 
se valesse la distributivita', e si compongono i due risultati)
 - gamma(alpha o beta) c gamma(beta o alpha) o (gamma alpha v gamma beta)
 - gamma(alpha o beta o alpha) c gamma(beta o alpha) o (gamma alpha v gamma beta)
 o, piu' in generale,
 - gamma(alpha v beta) c gamma(beta o alpha) o (gamma alpha v gamma beta)
 NB: quest'ultima disuguaglianza implica la modularita'.
 NB: l'analogo del "three-subgroup lemma" vale in anelli (anche non 
commutativi), ma non necessariamente in algebre (senza dimostrazione) [note].


(14 novembre)

Sia A un'algebra in una varieta' a congruenze modulari.
 Allora vale 
(alpha1 o beta1 o alpha1) (alpha2 o beta2 o alpha2) c
 (beta1 o alpha1) (beta2 o alpha2) o
 (alpha1 alpha2 v alpha1 beta2 v beta1 alpha2 v beta1 beta2)
 Se d e' un "termine differenza", allora definendo 
 d' (x,y,z) = d(d(x,y,z), d(y,y,z), z), valgono
 - x= d'(x, y, y)
 - d(x, x, y) [ [alpha, alpha], [alpha, alpha]] y, se x alpha y 
 Otteniamo
 (alpha1 v beta1) (alpha2 v beta2) (alpha3 v beta3) c 
 (alpha1 o beta1) (alpha2 o beta2) (alpha3 o beta3) o epsilon,
 dove epsilon e' (alpha1 v beta1) (alpha2 v beta2) (alpha3 v 
beta3) calcolata come se fossimo in un reticolo distribuitvo, cioe'
 epsilon = alpha1 alpha2 alpha3 v alpha1 alpha2 beta3 v
 alpha1 beta2 alpha3 v ... v beta1 beta2 alpha3 v beta1 beta2 beta3 
 Quindi Con(A) e' arguesiano [note].


(15 novembre)

Teoria degli insiemi. Testo di riferimento: Jech, Set Theory, 
qualunque edizione.

- Sistemi assiomatici
  https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/stud/AA1516/sh.pdf
 (fa parte del programma)
 Assioma di estensionalita' (due insiemi sono uguali se e solo 
hanno gli stessi elementi, cioe' un insieme e' caratterizzato 
completamente quando si conoscono i suoi elementi)
 Assioma della coppia. Coppie ordinate.
 Assioma dell'esistenza dell'insieme della parti (o potenza) di un 
insieme.

 Alcuni riferimenti, fra i tantissimi possibili, per chi volesse 
approfondire (non fanno parte del programma):
  A. Kanamori, The mathematical development of set theory from Cantor to 
Cohen, The Bulletin of Symbolic Logic 2 (1996), pp. 1-71, tradotto 
parzialmente e probabilmente con modifiche:
 math.bu.edu/people/aki/15.pdf
 P. R. Halmos, Naive Set Theory (trad. it. Teoria elementare degli insiemi)
 A.A. Fraenkel, Y. Bar-Hillel, A. Levy, Foundations of Set Theory.
 G. H. Moore, Zermelo's axiom of choice.
 P. Maddy, Believing the axioms I e II, Journal of Symbolic Logic, 1988.  
 http://www.socsci.uci.edu/~pjmaddy/bio/Believing%20the%20Axioms%20(with%20corrections).pdf
 Molto altro materiale puo' essere trovato nella pagina e nei libri di P. Maddy:
 http://faculty.sites.uci.edu/pjmaddy/
 H. Andreka e I. Nemeti, H S P K is equational class, without the axiom 
of choice, Algebra  Universalis, 13  (1981) 164--166.
 M. Foreman e A. Kanamori (a cura di), Handbook of Set Theory, 2010. 


(16 novembre)

 Unione di un insieme.
 Formule. Schema di separazione. Esistenza dell'insieme vuoto. Esistenza 
del prodotto cartesiano di due insiemi; funzioni, relazioni.
 Assioma di separazione. 


(21 novembre)

 Classi nella teoria di Zermelo-Fraenkel.
 Assioma dell'infinito (esiste un insieme induttivo). Numeri naturali.
 Assioma di rimpiazzamento.


(22 novembre)
(3 ore)

 Assioma di regolarita' (o fondazione).
 Cenni sulla gerarchia cumulativa (facoltativo).
 Induzione insiemistica ([J, Teorema 6.4], senza dimostrazione). 
 Cenni sulla necessita' di iterare trasfinitamente alcuni procedimenti. 
Esempio: Teorema di Cantor-Bendixson e cenni sulla dimostrazione ([J, 
Teorema 4.6], facoltativo).
 Buoni ordini. Se f e' una funzione crescente, allora f(x) maggiore o 
uguale a x, in ogni buon ordine. Quindi l'identita' e' l'unico 
isomorfismo di un insieme ben ordinato, e se due insiemi bene ordinati 
sono isomorfi, l'isomorfismo e' unico. Un insieme ben ordinato non e' 
mai isomorfo ad un suo segmento iniziale (proprio). Controesempi che 
mostrano che e' necessaria l'assunzione del buon ordinamento.
 Dati due buoni ordini, o sono isomorfi, o uno dei due e' isomorfo ad un 
segmento iniziale dell'altro.


(23 novembre)

 Cenni sulla "reverse mathemtics" (facoltativo).
Induzione transfinita su un insieme bene ordinato. Giustificazione 
intuitiva delle definizioni per ricorsione transfinita.
 Ordinali. Ogni buon ordine e' isomorfo ad un unico ordinale (senza 
dimostrazione).
 Assioma della scelta. Equivalenza col Principio del buon ordinamento. 
Altre equivalenze (senza dimostrazione): tricotomia; |X x X|=|X| se X e' 
infinito.

  Sulle forme equivalenti dell'Assioma di Scelta, e sulle sue 
conseguenze, si possono consultare (non fa parte del programma):
 H. Rubin, J.E. Rubin, Equivalents of the Axiom of Choice, II, 1985.
 P. Howard, J. E. Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, 1998.

 Il programma di teoria degli insiemi e' costituito dalle seguenti parti 
del libro di Jech, Set Theory (third millennium edition) del 2002.

Capitolo 1 (tranne gli esercizi), Capitolo 2 fino a definizione 2.10 
inclusa, inoltre Teorema 2.12 senza dim., Teorema 2.14, Teorema 3.1, 
Teorema 4.6 (senza dimostrazione); Capitolo 5 fino a Teorema 5.1 
incluso; Captolo 6 (solo l'assioma di regolarita', la definizione di 
V_alpha, il Lemma 6.3 e il Teorema 6.4, tutto senza dim.)


(28 novembre)

 Se M_3 e' uno 0-1-sottoreticolo del reticolo dei sottogruppi normali di un 
gruppo G, allora G e' abeliano (l'ipotesi significa che esistono tre 
sottogruppi normali tali che l'intersezione di ogni coppia di essi e' il 
sottogruppo banale, e il sottogruppo generato da ciascuna coppia e' tutto 
G).
 Piu' in generale, se M_3 e' uno 0-1-sottoreticolo del reticolo delle 
congruenze di un'algebra A appartenente ad una varieta' a congruenze 
modulari, allora A e' abeliana (nel senso che [1_A,1_A]=0_A).
 Generalizzazione del lemma di Lampe: se A soddisfa alla gamma-alpha-TC e alla
gamma-beta-TC, allora A soddisfa alla gamma-(alpha+beta)-TC.
 Esiste un'algebra A tale che M_3 e' uno 0-1-sottoreticolo del reticolo 
delle congruenze di A ma A non soddisfa a TC (senza dimostrazione). Se 
pero' almeno una coppia di congruenze non banali di M_3 permutano fra loro, 
allora segue TC. [note]


(29 novembre)
(3 ore)

 Piu' in generale, basta 1=alpha o beta o alpha (Willard).
 Multiinsiemi.
 https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Multiinsieme&oldid=62941020
 Commutatore in un'algebra qualsiasi definito mediante la 
generalizzazione di TC.
 Proprieta':
  - [alpha, beta] < o = alpha beta
  - monotono in entrambi gli argomenti
  - (semidistributivita') se [alpha, beta]=[alpha, gamma], allora
 [alpha, beta + gamma] = [alpha, gamma]
  - Se Con(A) e' modulare, allora [alpha, beta + gamma] < o =
 alpha beta + alpha gamma
 Termine differenza debole. Se esiste un termine differenza debole, allora
 - alpha o beta c [alpha,alpha] o beta o alpha o [beta, beta]. 
 - alpha + beta = ([alpha,alpha] + [beta, beta]) o beta o alpha o 
([alpha,alpha] + [beta, beta]).
 - Se M_3 e' uno 0-1-sottoreticolo del reticolo delle congruenze di A, 
allora A soddisfa a TC. [note]


(30 novembre)

 Se esiste un termine differenza debole e [alpha, alpha]=0, allora
  - alpha o beta o alpha c  beta o alpha o beta, da cui si deduce 
  - alpha + beta =  beta o alpha o beta
 Se esiste un termine differenza debole, alpha beta = 0 e alpha+beta=1, 
allora
 [alpha,alpha]=0 se e solo se [1,1] < 0 = beta [note].
 Cenni storici sull'evoluzione dell'algebra e della'algebra generale 
fino al 1970 circa (facoltativo).
 Cenni alla caratterizzazione di Mal'cev delle vareta' a congruenze 
modulari (facoltativo).


(12 dicembre)
(3 ore)

Reticolo delle sottostrutture e delle congruenze del reticolo D_2. Lo 
stesso ma come semireticolo (D_2 e' il reticolo distributivo con 4 
elementi: 0,1,a,b dove a e b non sono in relazione fra loro, cioe' a 
non e' minore o ugale a b, e nemmeno viceversa. In alcuni libri e' 
indicato come B_2; altri libri indicano come D_2 un reticolo diverso).
 Cenni ai cloni di operazioni (facoltativo).
 Cenni alla "Tame congruence theory" di Hobby e McKenzie sulle algebre 
finite e sulle varieta' localmente finite; tipi di un intervallo 
"primo"; caratterizzazioni equivalenti delle varieta' localmente finite 
che omettono il tipo 1. Brevissimi cenni alle generalizzazioni 
introdotte da Kearnes e Kiss senza l'ipotesi che le varieta' prese in 
considerazioni siano localmente finite. (facoltativo)


 (13 dicembre)
 (tutto facoltativo) Ancora sulla "Tame congruence theory" di Hobby e 
McKenzie. Caratterizzazioni delle varieta' che omettono i tipi 1 e 5; 
caratterizzazione delle varieta' n-permutabili per qualche n. L'identita' 
alpha beta_n = alpha gamma_n e duale.
 Calcolo di alpha + beta in una varieta' con un termine differenza debole.


 (14 dicembre)
 (3 ore)
 Se alpha e' una relazione compatibile per un'algebra, t e' un termine e 
a1 alpha b1 etc, allora t(a1,...) alpha t(b1,...)
 (tutto facoltativo) Elementi irriducibili in un reticolo; cenni sulle 
varieta' di reticoli; varieta' n-permutabili e identita' soddisfatte, 
con cenni alle dimostrazioni.