Presentazione del corso (Logica Matematica 1, 2016-17) Teoria degli insiemi. A livello minimale, la teoria degli insiemi insegna come usare gli insiemi in una maniera sufficientemente ampia per poter svolgere tutta la matematica, ma senza cadere in paradossi quali il paradosso di Russell. In realta', dietro la nozione di insieme, si cela il problema di come trattare matematicamente l'infinito. Cantor ha scoperto che non tutti gli insiemi infiniti hanno la stessa cardinalita', quindi una parte della teoria degli insiemi studia le proprieta' della cardinalita' di insiemi. Ancor piu' interessante, si possono studiare alcuni "grandi cardinali". La loro esistenza non si puo' dimostrare, ma l'eventuale esistenza di questi grandi cardinali influenza certe proprieta' di oggetti matematici in analisi, algebra, topologia. Da un altro punto di vista, mentre nel caso finito le nozioni di "numero cardinale" (uno, due, tre...) e "numero ordinale" (primo, secondo, terzo...) sono sostanzialmente equivalenti (o, per lo meno, vi e' una corrispondenza biunivoca), nel caso infinito, per cosi' dire, esistono molti piu' numeri ordinali che numeri cardinali. Ad esempio, se considero N come insieme ordinato, e aggiungo un punto "in cima", cioe' un punto maggiore di tutti gli altri, ottengo un insieme ordinato che posso chiamare N+1, che, come insieme ordinato, non e' isomorfo ad N, anche se ha la stessa cardinalita' di N. Matematicamente, questi numeri ordinali infiniti si usano quando c'e' la necessita' di iterare un procedimento infinite volte. Alcune proposizioni riguardanti gli insiemi non possono essere dimostrate, e nemmeno la loro negazione puo' essere dimostrata. Esistono esempi semplici: sulla base degli assiomi usualmente accettati, non si puo' decidere se esistono cardinali strettamente compresi fra la cardinalita' numerabile e quella dell'insieme dei numeri reali. Anche se questo problema si puo' enunciare in maniera molto semplice, la dimostrazione che il problema non ammette soluzione (sulla base degli assiomi accettati) e' notevolmente complessa. Vi si potra' almeno accennare durante il corso. Algebra universale. L'algebra universale (un nome piu' opportuno sarebbe "algebra generale", o "teoria generale dei sistemi algebrici") studia insiemi su cui sono definite operazioni, senza limitazioni sul numero di queste operazioni, e senza limitazioni sul numero di argomenti di ciascuna operazione (un operazione n-aria su un insieme A e' una funzione da A alla n ad A). Anche se sembrerebbe difficile poter dimostrare risultati significativi in un ambito talmente generale, alcuni risultati esistono. E' naturale definire le nozioni di sottostruttura, prodotto di strutture, di omomorfismo, e quindi di immagine omomorfa. Il teorema di Birkhoff, l'inizio dell'algebra universale moderna, dice che una classe di strutture dello stesso tipo e' chiusa per sottostrutture, prodotti e immagini omomorfe se e solo se e' definibile mediante identita' (dove identita' significa, grossomodo, un'uguaglianza scritta usando le operazioni di cui si sta trattando, preceduta esclusivamente da "per ogni", ad esempio: per ogni x,y,z, x(yz)=(xy)z ovviamente, in generale, si trattera' di identita' molto piu' complicate). Una classe di strutture che soddisfa una delle due condizioni equivalenti date dal teorema di Birkhoff viene detta "varieta'". Un grosso nucleo di teoremi importanti di algebra universale afferma che, per certe proprieta' P e Q di strutture algebriche, se P vale per tutte le strutture di una certa varieta', allora anche Q vale per tutte le strutture di quella varieta'. La maggior parte di queste implicazioni sono non banali, nel senso che non valgono per singole strutture algebriche, ovvero ci sono singole strutture per cui P vale e Q non vale. In particolare, questo discorso si applica a molte proprieta' delle congruenze. Nel senso dell'algebra universale, una congruenza corrisponde grossomodo alla nozione di nucleo di un omomorfismo per i gruppi. Nel caso generale, una congruenza di una struttura algebrica e' una relazione di equivalenza, quindi la corrispondenza piu' precisa con la teoria dei gruppi sarebbe con la nozione di laterale (di un sottogruppo normale). Le congruenze di una struttura sono un insieme parzialmente ordinato con la proprieta' che, date due congruenze, esiste il loro max e il loro min. Sotto certe ipotesi, questi insiemi ordinati soddisfano certe proprieta', e in questo ambito valgono molte delle implicazioni non banali di cui si parlava sopra. Programma (preliminare) di Logica Matematica 1 Anno Accademico 2016-17 Non sono previsti particolari prerequisiti, oltre ad una conoscenza della matematica di base insegnata ai corsi del primo anno della laurea triennale. Teoria degli insiemi. Trattazione intuitiva. Linguaggio della teoria degli insiemi. Assiomatizzazioni. Classi. Insiemi bene ordinati. Numeri ordinali e cardinali. La gerarchia cumulativa degli insiemi. Induzione transfinita. Aritmetica ordinale e cardinale. L'Assioma di Scelta e forme equivalenti e deboli. Cenni ai risultati di indipendenza e di relativa non contraddittorieta'. Cenni su alcuni tipi di grandi cardinali. Cardinali misurabili e conseguenze della loro esistenza in algebra, analisi e topologia. Algebra universale. Strutture algebriche. Esempi. Reticoli, semireticoli, algebre di Boole. Sottostrutture, prodotti, prodotti sottodiretti, omomorfismi. Congruenze. Algebre libere. Il Teorema di Birkhoff. Varieta'. Varieta' distributive, permutabili, modulari. Condizioni di Mal'cev. Cenni alle varieta' dei reticoli di congruenze. Cenni alla teoria del commutatore. Variazioni del programma potranno essere concordate con gli studenti all'inizio del corso. Sempre in base alle esigenze degli studenti, potra' essere dato piu' spazio alla parte di teoria degli Insiemi oppure alla parte di Algebra Universale. Possibili testi di riferimento (dei quali non e' assolutamente necessario l'acquisto) sono: - T. Jech, Set Theory, qualunque edizione. - Frank R. Drake, Set Theory: An Introduction to Large Cardinals, 1974. - G. Gratzer, Universal algebra, qualunque edizione. - H. P. Sankappanavar, S. Burris, A Course in Universal Algebra, reperibile liberamente in rete: https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html Verranno eventualmente rese disponibili dispense, con l'indicazione di altro materiale consultabile online. Un'introduzione (leggermente tecnica) ad alcuni temi recenti di algebra universale si puo' trovare in https://www.mat.uniroma2.it/~lipparin/teorcomm.pdf