Programma indicativo del corso di Logica Matematica 2015-15 Paolo Lipparini Cenni storici sugli sviluppi della Logica Matematica e della Teoria degli Insiemi nell'Ottocento e nel Novecento. Il problema dei Fondamenti della Matematica. Sistemi formali. Linguaggio. Formule ben formate. Assiomi. Dimostrazioni. Il Calcolo delle proposizioni. Il Calcolo dei predicati del Primo Ordine. Cenni ai risultati di incompletezza. Assiomatizzazione della teoria degli insiemi. Numeri ordinali e cardinali. L'Assioma di Scelta e cenni a forme equivalenti e deboli. Modelli. Soddisfacibilita'. Teorie del Primo Ordine e teoremi di Completezza e Compattezza. Modelli non standard. Ultrafiltri. Ultraprodotti. Il Teorema di Los. Introduzione all'Analisi non standard. Cenni ai risultati di indipendenza e di relativa non contradditorieta' in teoria degli insiemi. Cardinali misurabili e conseguenze della loro esistenza in algebra, analisi e topologia. Variazioni del programma potranno essere concordate con gli studenti all'inizio del corso. Possibili testi di riferimento (dei quali non e' assolutamente necessario l'acquisto) sono: - Elliott Mendelson, Introduzione alla logica matematica, qualunque edizione. - Abraham Robinson, Analisi non standard, o l'edizione originale in inglese, Non-standard analysis. - C. C. Chang e H. J. Keisler, Model Theory, third edition, o la precedente traduzione italiana, Teoria dei modelli. - Thomas Jech, Set Theory - The Third Millennium Edition. Commento. Il corso intende presentare le nozioni di base della logica matematica come sviluppata nel corso del '900. L'argomento su cui si vuole porre l'accento e' la scoperta dell'analisi non-standard da parte di A. Robinson. Prima della sistemazione rigorosa dell'analisi matematica alla meta' dell'800 ad opera di Weiestrass, Dedekind etc., l'analisi era trattata in maniera a volte approssimativa e non completamente rigorosa. In particolare, si supponeva l'esistenza di quantita' "infinitesime" che, di volta in volta, venivano considerate "piccole ma distinte da 0", oppure si consideravano "trascurabili" e quindi si ponevano uguali a zero, a seconda della convenienza. Una simile trattazione era evidentemente non soddisfacente, al punto che, con ironico disprezzo, il filosofo G. Berkeley aveva indicato gli infinitesimi come "spettri di quantita' dipartite". Nonostante l'apparente contradditorieta' del metodo degli infinitesimi, A. Robinson e' riuscito a presentarne una trattazione rigorosa all'inizio degli anni '60 del secolo scorso. Sebbene, in un senso che puo' essere reso preciso, il metodo di Robinson non puo' produrre risultati nuovi relativi alla parte "classica" dell'analisi, la presentazione non standard ha il vantaggio di essere maggiormente intuitiva, e talvolta e' stata utile per scoprire nuovi risultati. Un'introduzione elementare ai metodi non standard si puo' trovare nell'articolo di M. Di Nasso reperibile al seguente link: http:/www.dm.unipi.it/~dinasso/papers/it1.pdf Anche la sistemazione classica di Weiestrass dell'analisi ha fatto comunque sorgere alcuni problemi. Infatti essa presuppone, almeno implicitamente, la teoria degli insiemi. Un uso poco accorto degli insiemi puo' portare pero' a contraddizioni; l'esempio piu' noto (ma non l'unico) e' il Paradosso di Russell. Problemi "fondazionali" di questo tipo hanno condotto ad un ampio dibattito svoltosi all'inizio del '900. Ad essere precisi, e contrariamente ad una visione diffusa ma semplicistica, il vero "problema" non sta nella nozione di "insieme", ma nell'uso di procedure infinite, considerate come "effettivamente realizzate". Non a caso, uno dei lavori fondamentali del periodo, di D. Hilbert, si intitola "Sull'infinito". Confesso di non riuscire a trattenermi dal citarne almeno un breve passo: << Tali dispute non sono cessate perche' il significato dell' "infinito" nel senso in cui tale concetto e' usato in matematica, non e' mai stato chiarito completamente... Nella sua fondazione dell'analisi, Weierstrass accetto' senza riserve ed adopero' ripetutamente forme di deduzione logica in cui entra il concetto di infinito, come quando si considerano tutti i numeri reali che hanno una certa proprieta' o si afferma che esistono numeri reali che hanno una certa proprieta'. L'infinito percio' ricompare nella teoria di Weierstrass per un'altra via, sfuggendo cosi' all'esigenza di precisione imposta dalla sua critica. >> La soluzione proposta da Hilbert e' stata quella (semplificando parecchio) di cercare di dimostrare che quella matematica che fa uso dell'infinito - che se ne ritenga giustificato o meno l'uso - non porta a contraddizioni. Per realizzare questo programma, Hilbert considerava la matematica come un "oggetto di studio", e la trattazione di questo studio si doveva svolgere in una "metamatematica", una specie, per cosi' dire, di algebra dei simboli e delle formule, che doveva fare uso solo di metodi finitistici, su cui nemmeno gli scettici piu' accaniti avrebbero potuto avanzare dubbi. Mentre il "programma di Hilbert" si e' rivelato irrealizzabile (almeno nella sua forma forte) esso ha avuto un influsso fondamentale sullo sviluppo della logica matematica moderna. Un'introduzione all'argomento si puo' trovare nell'introduzione della dispensa di G. Lolli consultabile qui: http://homepage.sns.it/lolli/dispense09/corso09-1.pdf Il corso riguardera' soprattutto gli sviluppi della logica, e solo marginalmente i citati "dibattiti sui fondamenti". Ma penso di essermi gia' dilungato abbastanza e, poi... il finale si puo' svelare solo alla fine!