BENVENUTI! Questa e' la pagina che contiene informazioni per gli studenti
del corso di Geometria 3, titolare Prof. Di Gennaro
E' un vero delitto contro l'umanita' il tormentare i poveri alunni con
esami, per assicurarsi che essi sappiano cose che la generalita' del
pubblico istruito ignora.
(G. Peano,
Contro gli esami,
1910)
Vedi anche:
L'INFERNO DEGLI ESAMI
Ulteriori esercizi
(a cura della Prof. Tovena)
NB: non tutti questi esercizi faranno parte del programma dell'anno
2012-2013; non e' necessariamente detto (ma nemmeno necessariamente
escluso) che gli esercizi che verranno
dati alle prove di esame saranno simili a questi esercizi!
(probabilmente NON saranno simili!)
Sulle varie definizioni di compattezza
V. Checcucci, A. Tognoli, E. Vesentini,
Lezioni di topologia generale,
Feltrinelli 1976
(sostituite "g3.html" con "CTV1.pdf" etc. nella barra degli indirizzi)
Ryszard Engelking, General Topology.
L. Steen, J. Seebach, Counterexamples in Topology,
1995 (seconda edizione)
Sui gruppi fondamentali del toro e del toro meno un punto.
Siccome il toro e' (omeomorfo) al prodotto di due circonferenze, il suo
gruppo
fondamentale e' Z x Z, il prodotto di due copie di Z, gruppo fondamentale
della circonferenza.
Intuitivamente, in
questa
gif animata
da mathworld si mostra come il
gruppo fondamentale del toro sia commutativo.
Se
α1
e' il cammino segnato in blu al momento iniziale,
e α2
e' quello segnato in rosso,
l'immagine animata mostra un'omotopia da
α1 * α2
a
α2 * α1.
Il cammino, in questa omotopia, "spazza" tutta la superficie del toro;
in sostanza, per poter avere questa omotopia, devo poter "disporre" di
tutta la superficie del toro. Questo spiega perche', se tolgo un punto al
toro, la commutativita' cessa di valere.
Infatti, il gruppo fondamentale del toro meno un punto e' il prodotto
libero (non commutativo) Z * Z. Per la dimostrazione di questo risultato
si usa solitamente il teorema di Seifert Van-Kampen (che non fa parte
del programma svolto quest'anno). Chi fosse interessato (e avesse tempo)
puo' (o potra' se sara' costretto in futuro...) trovare maggiori dettagli
nei capitoli 23 - 25 del libro del Kosniowski, ed eventualmente qualche
ulteriore commento
qui.