Uno spazio topologico e':

Compatto se e solo se ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito ("nostra" definizione in topologia).

Sequenzialmente compatto se e solo se ogni successione ammette una sottosuccessione convergente (definizione spesso usata in analisi).

Queste due definizioni sono equivalenti in ogni spazio metrico. Vedi per esempio il libro di Kelley, General Topology, Capitolo 5, Teorema 5, dove vengono elencate anche altre condizioni.
In italiano, si puo' trovare una dimostrazione
qui 1 , 2 e 3 (non ho controllato in ogni dettaglio!)

Per spazi che non sono metrici le due condizioni non sono equivalenti, anzi, ci sono spazi compatti che non sono sequenzialmente compatti, e spazi sequenzialmente compatti che non sono compatti. Esempi, ed un po' di storia sui rapporti fra i due concetti si possono trovare su wikipedia (ma in inglese!)

In realta', la compattezza sequenziale e' una condizione molto piu' vicina a quella che si chiama compattezza numerabile, piuttosto che alla compattezza vera e propria.
Uno spazio topologico si dice:

Numerabilmente compatto (countably compact, in inglese) se e solo se ogni ricoprimento aperto numerabile ammette un sottoricoprimento finito.

(Numerabile significa che puo' essere messo in corrispondenza biunivoca coll'insieme dei numeri naturali.)

Ogni spazio sequenzialmente compatto e' numerabilmente compatto (potete dimostrarlo per esercizio! Qualcuno, sostanzialmente, l'ha fatto di sua iniziativa, complimenti!); il viceversa non vale necessariamente, ma vale nella classe degli spazi sequenziali (classe che include, per esempio, tutti gli spazi che soddisfano il primo assioma di numerabilita', di cui forse non e' stato parlato a lezione: uno spazio topologico soddisfa il primo assioma di numerabilita' quando, per ogni suo punto x, esiste una famiglia numerabile di intorni di x U_n (n in N) tale che ogni intorno di x contiene almeno uno fra gli U_n. E' facile dimostrare che ogni spazio metrico soddisfa il primo assioma di numerabilita', ma ci sono molti altri spazi che soddisfano questa proprieta')

Vedi anche la sezione 5.E del libro di Kelley per altre informazioni sulla compattezza numerabile.

Le nozioni di compattezza sopra menzionate si comportano in maniera molto differente rispetto ai prodotti.
Il prodotto di una famiglia qualunque di spazi compatti e' ancora compatto (Teorema di Tychonoff, dimostrato a lezione, suppongo, solo per una famiglia finita, ma vale per famiglie arbitrarie, per un'opportuna definizione di prodotto di un numero infinito di spazi)
Il prodotto di una famiglia numerabile di spazi sequenzialmente compatti e' ancora sequenzialmente compatto, ma questo non vale necesariamente per famiglie che non sono numerabili (e, anzi, questo e' collegato con difficili problemi di teoria degli insiemi).
Infine, e' possibile che il prodotto di due spazi numerabilmente compatti non sia piu' numerabilmente compatto. Provate a fare il confronto con la dimostrazione del Teorema di Tychonoff: quale parte dell'argomento non e' valida? (trovare effettivamente un controesempio e' parecchio complicato!)


Penso che per un po' possa bastare, ma se avete bisogno di ulteriori informazioni, scrivetemi!