(salvo errori od omissioni; ultima modifica 14 giugno 2003; in grassetto gli argomenti piu' importanti)
L'evoluzione del concetto di sistema assiomatico.
Sistemi assiomatici in senso “classico” e in senso “moderno” [S, p. 11-12]. Passaggio graduale da una concezione all'altra.
Mancanza di rigore nel calcolo infinitesimale nel '600-'700. L'"Analista"
di Berkeley [B, 494-495].
Il passaggio dalla concezione “classica” alla concezione “moderna” di sistema assiomatico: le geometrie “non euclidee” [B, 621-626].
Il principio di dualita' in geometria
proiettiva [B, 605-616] (facoltativo).
Cenno ai problemi di Hilbert come tentativo di prevedere il futuro della
matematica. Il secondo problema e il programma di Hilbert [L]. Distinzione fra
matematica e "metamatematica".
Altri aspetti dell'attività matematica non riconducibili o difficilmente riconducibili a metodi assiomatici [DH, 30-38]. Opinioni di G. Peano sugli esami [Pe].
Cenni sulla vita e sulla personalità di A.Church [Ro].
Esempio di come le teorie matematiche vengano sviluppate prima ed indipendentemente dalle applicazioni: Ricci Curbastro [RC].
Cenni alla Teoria Assiomatica degli Insiemi (tutto facoltativo).
Origini della Teoria degli Insiemi (Bolzano, Cantor). Teoria "intuitiva" e necessita' dell'assiomatizzazione. L'assioma di "comprensione" di Frege ed il paradosso di Russel. Gli assiomi di Zermelo-Fraenkel come assiomi che garantiscono la costruzione degli insiemi necessari nell'attivita' matematica. Cenni al "problema del continuo" ed a formulazioni equivalenti dell'assioma di scelta.
Logica.
Nozione di sistema (o teoria) formale. Formule ben formate; assiomi; regole di inferenza; nozione di dimostrazione all'interno di un sistema formale.
Introduzione di nuovi simboli mediante definizioni. Calcolo delle Proposizioni. Il calcolo delle proposizioni come esempio di sistema formale; esempio di dimostrazione. Semantica del calcolo delle proposizioni. Suo carattere verofunzionale. Tavole di verità. Tautologie.
Teorema di completezza (senza dimostrazione).
Il calcolo dei predicati del primo ordine: cenni sulla sintassi.
Autoriferimento [Note]. Teorie. Assiomi di Peano e aritmetica di Peano. Gödelizzazione. Enunciato
del teorema di Gödel-Rosser.
Significato intuitivo dell'enunciato indecidibile di Gödel
("io non sono dimostrabile").
Enunciato del secondo teorema di incompletezza di Gödel.
Irrealizzabilita' del programma di
Hilbert.
L'insieme
dei teoremi dell'aritmetica di Peano e' ricorsivamente enumerabile ma non
ricorsivo (senza dimostrazione, facoltativo).
Il programma consiste delle pagine delle opere citate, più le seguenti parti del libro E.Mendelson, Introduzione alla Logica Matematica: Paradosso 1 a pagina 10); §1.1; §1.2 (escluse 1.1, 1.2 e 1.3); §1.4 (fino a p. 45; enunciati di 1.11 e 1.13); §2.1; §3.1 (solo pagine 128 e 129 e definizione di numerale a p. 135); definizione di esprimibile a p. 146; §3.4 (solo fino a Proposizione 3.25 esclusa); §3.5 (solo enunciato di Prop. 3.32, e p. 183)