Corso di Laurea in Matematica
Diario delle lezioni di Geometria IV
Terzo anno, primo semestre, a.a.
2025/2026
Andrea Iannuzzi, Paolo Salvatore.
Nona settimana, 25-28 novembre 2025.
Successioni e serie di funzioni a valori complessi. Convergeneza puntuale, localmente uniforme, uniforme sui compatti, uniforme.
E analoghe convergenze assolute. E corrispondenti criteri di Cauchy. Esempio importante: la serie geometrica. Serie di potenze
e loro raggio di convergenza. Criterio di Cauchy-Hadamard. Esempi di funzioni analitiche complesse ed esempi super classici
di funzioni intere. L'esponenziale complesso (oltre ad essere un rivestimento universale) e' un epimorfismo di gruppi "complessi".
Lo abbiamo dimostrato usando il principio di identita'. Analoga strategia dimostra una grande quantita' di identita' tra funzioni
intere trigonometriche e iperboliche.
Ottava settimana, 18-21 novembre 2025.
Per i rivestimenti di Galois il gruppo delle trasformazioni di rivestimento e'
isomorfo al quoziente del gruppo fondamentale della base per il sottogruppo caratteristico
(normale). La mappa quoziente per azioni per rivestimento rientra in questo contesto.
Caso dei rivestimenti universali. Esistenza dei rivestimenti. Data per buona l'esistenza del rivestimento
universale, sotto ipotesi ragionevoli, per ogni sottogruppo H del gruppo fondamentale della base
e' possibile costruire un rivestimento il cui sottogruppo caratteristico e' proprio H:
ingredienti della dimostrazione. Gli spazi lenticolari.
PARTE II: analisi complessa
Notazioni e richiami sui numeri complessi.
Settima settimana, 11-14 novembre 2025.
Azioni destre e sinistre per omeomorfismi su uno spazio topologico: orbite, isotropie, ineffettivita',
orbit map e biezione indotta. La proiezione sul quoziente, rispetto ad una tale azione, e' aperta
(se G e' finito e' anche chiusa).
Azioni di rivestimento. Vari esempi di azioni con differenti proprieta'. La proiezione sul quoziente rispetto
ad una azione di rivestimento e' . . . un rivestimento. Caso di G finito che agisce liberamente
su uno spazio topologico di Hausdorff. Il gruppo degli omeomorfismi di rivestimento D;
la sua azione naturale sullo spazio totale e' di
rivestimento. Il quoziente rispetto a tale azione e' omeomorfo allo spazio base se e solo se il rivestimento e'
di Galois/normale. In tal caso, quindi, e solo in tal caso, il rivestimento si realizza tramite un'azione di rivestimento
(di D, evidentemente).
Caratterizzazione dei rivestimenti normali in termini della normalita' dei sottogruppi caratteristici.
Ogni rivestimento universale e' di Galois e D agisce (liberamente) e transitivamnete su ogni singola fibra.
Esempio di rivestimento NON normale. Azione di monodromia e relativa orbit map. La prossima settimana vedremo che
se il rivestimento e' di Galois tale azione si estende ad un'azione di D sullo spazio totale e realizzeremo
D in termini dei due gruppi fondamentali in gioco.
Sesta settimana, 4-7 novembre 2025.
Il rivestimento universale del toro. Teorema di esistenza del sollevamento. Esistenza di un logaritmo
complesso. Il rivestimento universale del piano complesso puntato C*come mappa quoziente rispetto
all'azione di Z per traslazioni. Equivalenza di rivestimenti con punto base. Equivalenza di rivestimenti
senza punto base. Classificazione dei rivestimenti di S1 e relative orbit maps: c'e' un gruppo
(quoziente) che agisce sullo spazio totale le cui orbite coincidono con le fibre dei rivestimenti, uno per ogni
sottogruppo del gruppo fondamentale di S1.
Ancor meglio, questi rivestimenti si realizzano come quozienti rispetto all'azione di tale gruppo.
Esercizi.
Quinta settimana, 28-31 ottobre 2025.
Rivestimenti. Esempi e prime proprieta'. Unicita' dei sollevamenti. Sollevamento di cammini e di omotopie; teorema di monodromia.
Orbit map e sue proprieta'; azione del gruppo fondamentale dello
spazio proiettivo reale sulla sfera che lo riveste. Sottogruppo caratteristico e la sua classe di coniugio.
Esercizi.
Quarta settimana, 21-24 ottobre 2025.
Prodotto libero di gruppi. Teorema di Van Kampen: relazioni. Ogni gruppo e' un gruppo fondamentale. Classificazione delle
superfici e loro gruppo fondamentale.
Terza settimana, 14-17 ottobre 2025.
Gruppo fondamentale della circonferenza. Teorema del punto fisso di Brower. Gruppo fondamentale del prodotto.
Teorema di Van Kampen: generatori.
Seconda settimana, 7-10 ottobre 2025.
Concatenazione di cammini e classi di equivalenza Gruppo fondamentale. Azione dei cammini e invarianza. Invarianza per equivalenza omotopica.
Prima settimana, 30 novembre-1 ottobre 2025.
Omotopia, equivalenza omotopica. Composizione di mappe e omotopie. Retratti (forti) di deformazione.