Corso di Laurea in Matematica

Diario delle lezioni di Geometria IV

Terzo anno, primo semestre, a.a. 2025/2026
Andrea Iannuzzi, Paolo Salvatore.



Dodicesima settimana, 16-19 dicembre 2025. Realizzazione concreta di P1(C) come sfera di Riemann. Integrale interno di Cauchy e analiticita' delle funizioni olomorfe; il cerchio e' chiuso. Principio di unicita' del prolungamento analitico (PUPA); tre utili versioni. Attenzione quando si estende una funzione olomorfa a due domini differenti . . . Esistenza delle coniugate armoniche su domini semplicemente connessi; sono uniche a meno di una costante additiva. E se Il dominio non e' semplicemente connnesso? PUPA per funzioni armoniche (in realta' vale per la classe, piu' grande, delle funioni analitiche reali). Teorema di fattorizzazione. Principio di identita': tre utili versioni. Come definire la potenza di un numero complesso non nullo ad una potenza complessa. Il teorema della mappa aperta. O meglio, il comportamento locale di una funzione olomorfa non costante assomiglia tanto a quello di una potenza. L'inverso del teorema della funzione inversa (non vale per funzioni analitiche reali): se f e' olomorfa e localmente iniettiva la sua derivata complessa e' non nulla e quindi f ammette inversa locale olomorfa; esempio exp: C --> C*.

Ci si rivede tra un paio di settimane, Auguri di Buone Feste!

A proposito dell'ottava settimana; rivestimenti di Galois vs. gruppi di Galois: PDFa e PDFb

Undicesima settimana, 9-12 dicembre 2025. Forme complesse chiuse ed esatte. Integrazione di 1-forme complesse lungo cammini "sufficientemente" regolari a tratti. Invarianza per cambio ammissibile di parametro concorde, cambio di segno per cambio ammissibile di parametro discorde. Teorema fondamentale del calcolo per forme esatte. Caratterizzazioni integrali per forme chiuse; il differenziale dell'argomento e del logaritmo. Morera: g ammette primitiva olomorfa se e solo se gdz e' esatta, g e' olomorfa se e solo se gdz e' chiusa. Esempio di calcolo di integrale. La formula integrale di Cauchy per f olomorfa e per le sue derivate. Applicazione al calcolo di particolari integrali curvilinei. Diseguaglianze di Cauchy, il teorema di Liuoville, il teorema fondamentale dell'algebra. I polinomi si estendono a funzioni continue su P1(C). Funzioni armoniche e loro coniugati armonici. Il teorema di Liouville per funzioni armoniche. P1(C) e la sfera di Riemann (approfondiremo) ed esistenza di coniugati armonici su aperti semplicemte connessi (lo vedremo la px settimana).

Decima settimana, 2-5 dicembre 2025. Geometria di sin(z). Sia D un dominio. Un determinazione continua del logaritmo su D esiste se e solo se lo zero non capita in un "buco" di D. Equivalentemente, l'immagine del gruppo fondamentale di D nel gruppo fondamentale di C* e' banale (osservato in precedenza). Funzioni olomorfe: definizione, prime proprieta' e caratterizzazione differenziale. Esempi e proprieta' degli operatori deifferenziali complessi. Lo jacobiano reale. Enunciato del teorema di Goursat. Le funzioni analitiche complesse sono olomorfe, ad esempio quelle classiche, i polinomi in z. E i polinomi in C[x,y]? Teorema della funzione inversa; versione olomorfa. Ogni determinazione continua del logaritmo e' olomorfa Equazioni di Cauchy-Riemann, le funzioni olomorfe sono mappe confermi (vale il viceversa). L'olomorfia in z0 e' equivalente alla (complessa) linearita' del differenziale in tale punto.

Nona settimana, 25-28 novembre 2025. Successioni e serie di funzioni a valori complessi. Convergeneza puntuale, localmente uniforme, uniforme sui compatti, uniforme. E analoghe convergenze assolute. E corrispondenti criteri di Cauchy. Esempio importante: la serie geometrica. Serie di potenze e loro raggio di convergenza. Criterio di Cauchy-Hadamard. Esempi di funzioni analitiche complesse ed esempi super classici di funzioni intere. L'esponenziale complesso (oltre ad essere un rivestimento universale) e' un epimorfismo di gruppi "complessi". Lo abbiamo dimostrato usando il principio di identita'. Analoga strategia dimostra una grande quantita' di identita' tra funzioni intere trigonometriche e iperboliche.

Ottava settimana, 18-21 novembre 2025. Per i rivestimenti di Galois il gruppo delle trasformazioni di rivestimento e' isomorfo al quoziente del gruppo fondamentale della base per il sottogruppo caratteristico (normale). La mappa quoziente per azioni per rivestimento rientra in questo contesto. Caso dei rivestimenti universali. Esistenza dei rivestimenti. Data per buona l'esistenza del rivestimento universale, sotto ipotesi ragionevoli, per ogni sottogruppo H del gruppo fondamentale della base e' possibile costruire un rivestimento il cui sottogruppo caratteristico e' proprio H: ingredienti della dimostrazione. Gli spazi lenticolari.

PARTE II: analisi complessa

Notazioni e richiami sui numeri complessi.

Settima settimana, 11-14 novembre 2025. Azioni destre e sinistre per omeomorfismi su uno spazio topologico: orbite, isotropie, ineffettivita', orbit map e biezione indotta. La proiezione sul quoziente, rispetto ad una tale azione, e' aperta (se G e' finito e' anche chiusa). Azioni di rivestimento. Vari esempi di azioni con differenti proprieta'. La proiezione sul quoziente rispetto ad una azione di rivestimento e' . . . un rivestimento. Caso di G finito che agisce liberamente su uno spazio topologico di Hausdorff. Il gruppo degli omeomorfismi di rivestimento D; la sua azione naturale sullo spazio totale e' di rivestimento. Il quoziente rispetto a tale azione e' omeomorfo allo spazio base se e solo se il rivestimento e' di Galois/normale. In tal caso, quindi, e solo in tal caso, il rivestimento si realizza tramite un'azione di rivestimento (di D, evidentemente). Caratterizzazione dei rivestimenti normali in termini della normalita' dei sottogruppi caratteristici. Ogni rivestimento universale e' di Galois e D agisce (liberamente) e transitivamnete su ogni singola fibra. Esempio di rivestimento NON normale. Azione di monodromia e relativa orbit map. La prossima settimana vedremo che se il rivestimento e' di Galois tale azione si estende ad un'azione di D sullo spazio totale e realizzeremo D in termini dei due gruppi fondamentali in gioco.

Sesta settimana, 4-7 novembre 2025. Il rivestimento universale del toro. Teorema di esistenza del sollevamento. Esistenza di un logaritmo complesso. Il rivestimento universale del piano complesso puntato C*come mappa quoziente rispetto all'azione di Z per traslazioni. Equivalenza di rivestimenti con punto base. Equivalenza di rivestimenti senza punto base. Classificazione dei rivestimenti di S1 e relative orbit maps: c'e' un gruppo (quoziente) che agisce sullo spazio totale le cui orbite coincidono con le fibre dei rivestimenti, uno per ogni sottogruppo del gruppo fondamentale di S1. Ancor meglio, questi rivestimenti si realizzano come quozienti rispetto all'azione di tale gruppo. Esercizi.

Quinta settimana, 28-31 ottobre 2025. Rivestimenti. Esempi e prime proprieta'. Unicita' dei sollevamenti. Sollevamento di cammini e di omotopie; teorema di monodromia. Orbit map e sue proprieta'; azione del gruppo fondamentale dello spazio proiettivo reale sulla sfera che lo riveste. Sottogruppo caratteristico e la sua classe di coniugio. Esercizi.

Quarta settimana, 21-24 ottobre 2025. Prodotto libero di gruppi. Teorema di Van Kampen: relazioni. Ogni gruppo e' un gruppo fondamentale. Classificazione delle superfici e loro gruppo fondamentale.

Terza settimana, 14-17 ottobre 2025. Gruppo fondamentale della circonferenza. Teorema del punto fisso di Brower. Gruppo fondamentale del prodotto. Teorema di Van Kampen: generatori.

Seconda settimana, 7-10 ottobre 2025. Concatenazione di cammini e classi di equivalenza Gruppo fondamentale. Azione dei cammini e invarianza. Invarianza per equivalenza omotopica.

Prima settimana, 30 novembre-1 ottobre 2025. Omotopia, equivalenza omotopica. Composizione di mappe e omotopie. Retratti (forti) di deformazione.