Numeri complessi, convergenza puntuale, (assoluta) uniforme, localmente uniforme
di serie di funzioni di numeri complessi, serie di potenze, raggio di convergenza:
teorema di Cauchy-Hadamard e criterio del rapporto (richiami).
Proprieta' di differenziabilita' per serie di potenze. Primi esempi di
funzioni analitiche complesse e loro proprieta':
esponenziale, tigonometriche e iperboliche.
Potenze di numeri complessi.
Le funzioni olomorfe sono
quelle derivabili in senso complesso. Caratterizzazione differenziale
delle funzioni olomorfe.
Teorema di Goursat (senza dimostrazione).
Operatori differenziali complessi e loro proprieta'.
Esempi di funzioni derivabili in senso complesso: polinomi, funzioni razionali,
esponenziali e determinazioni continue del logaritmo,
funzioni trigonometriche complesse,
serie di potenze convergenti e loro composizione, moltiplicazione . . . .
Teorema della funzione inversa per funzioni olomorfe: Log e'
olomorfo e Log'(z)=1/z, equazioni di Cauchy-Riemann, le funzioni
olomorfe sono quelle conformi. Olomorfia e C-linearita' del differenziale.
Integrazione su intervalli e integrazione
di 1-forme differenziali continue su cammini belli e regolari, forme esatte,
forme chiuse e loro caratterizzazioni nel caso siano C^1.
Primitive di forme e di funzioni continue: il teorema di Morera.
Il differenziale di f e la 1-forma complessa df.
Primi calcoli di integrali, formula integrale di Cauchy per f olomorfa
e per le sue derivate, teorema della media, diseguaglianze di Cauchy,
teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'algebra.
Teorema di convergenza di Weierstrass, teorema di Montel
(senza dimostrazione).
Sviluppabilita' locale delle funzioni olomorfe in serie di potenze.
Principio di unicita' del prolungamento analitico:
attenzione a quando si estende su differenti domini!
Molteplicita' e fattorizzazione di f(z)-f(z_0):
l'insieme di livello di una una funzione olomorfa non costante e' discreto,
olomorfia e iniettivita' implicano
derivata in senso complesso non nulla e quindi inversa olomorfa.
Teorema della mappa aperta.
Teorema di prolungamento di Riemann,
principio del massimo, lemma di Schwarz,
il gruppo dei biolomorfismi del disco unitario.
Serie bilatere, singolarita' isolate polari ed essenziali,
formula di Cauchy per anelli, sviluppo in serie di Laurent vicino ad una singolarita',
teorema dei residui, caratterizzazione delle
singolarita' polari, calcolo dei residui nei poli di
ordine m, applicazioni al calcolo degli integrali.
Teorema di Casorati-Weirstrass, teorema di Picard (senza dimostrazione),
il gruppo dei biolomorfismi di C.