Funzioni di due variabili.
Funzioni contunue. Il piano, distenza, funzioni,
continuità. Continuità e limiti, limiti al'infinito.
Continuità di somma, prodotto e composizione. Limiti
di funzioni composte, limiti su sottoinsiemi. Topologia e successioni.
Teorema ponte, compattezza (per successioni). -
Propiretà di differenziabilità e
derivabilità. Differenziabilità, piano tangente,
gradiente. Teorema del differenziale totale (controesempi). Somme,
prodotti e composizione di funzioni differenziabili, Jacobiano della
composizione. Derivate successive. - Polinomio di Taylor in due variabili.
Massimi e minimi relativi. Matrici e forme quadratiche, polinomio di
Taylor al secondo ordine. Punti stazionari per funzioni C1.
Teoremi su massimi e minimi per funzioni C2.
Successioni e serie di funzioni
Generalità. convergenza uniforme, continuità del
limite uniforme di funzioni continue. Convergenza totale in C(E), passaggio
al limite per derivate e integrali.
Serie di potenze. Raggio di convergenza, esempi di calcolo,
intervallo di convergenza. Convergenza totale delle serie di potenze,
derivate di una serie di potenze, somma di alcune serie di potenze.
Sviluppo in serie di Taylor (seno coseno ed esponenziale), serie di potenze
complesse e formule di Eulero.
Equazioni differenziali - Prima parte
Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Struttura delle
soluzioni delle equazioni differenziali lineari. Equazioni differenziali
lineari omogenee a coefficienti costanti. Equazioni differenziali del 2o
ordine lineari a coefficienti costanti non omogenee.
Integrazione
Integrale di funzioni di due variabili. Integrale di Riemann su
rettangoli. Integrale di Riemann su domini normali. Proprietà
dell'integrale ed esempi. Formule di cambio di variabile per
diffeomorfismi.
Integrali curvilinei. lunghezza di una curva rettificabile. -
ascissa curvilinea. - Integrale di funzioni su curve.
Forme differenziali. integrazione di forme differenziali su curve
orientate. Forme differenziali chiuse ed esatte. Forme differenziali e
teorema di Stokes nel piano. Chiusura ed esattezza su domini
semplicemente connessi.
Spazi metrici e compattezza
Spazi metrici, funzioni continue, completezza. Esempi di spazi completi,
funzioni continue e limitate a valori in uno spazio metrico completo.
Teorema delle contrazioni.Norme e prodotti scalari, esempi.
Diseguaglianza triangolare per una norma indotta da un prodotto scalare.
Compattezza in spazi metrici, il caso di Rn, teoremi di
Heine-Cantor e di Weierstrass.
Equazioni differenziali - Seconda parte
Equazioni differenziali e sistemi in forma normale, problema di Cauchy.
Teorema di esistenza ed unicità. Esistenza di soluzioni
massimali. Prolungabilità delle soluzioni. Caratterizzazione
delle soluzioni massimali.Esistenza di soluzioni in grande.
Misura di Lebesgue
Misura di plururettangoli. Misura di aperti. Misura esterna.
Misurabilità secondo Caratheodory. I misurabili formano una
sigma-algebra. Gli aperti sono misurabili. Misura e prodotti
cartesiani.
Integrale di Lebesgue
Integrale di Lebesgue, prime proprieta'. Funzioni semplici e loro misura.
Misurabilità e funzioni semplici, confronto con l'integrale Riemann.
- Linearita' e monotonicita' dell'integrale per funzioni sommabili.
Teoremi di convergenza sotto segno di integrale. Teorema di Fubini e di
cambiamento di variabili per integrali.
Varietà in Rn
Teorema. del Dini e del diffeomorfismo locale. Definizioni di
varietà e loro equivalenza. Teorema dei moltiplicatori di
Lagrange. Integrale su k-varietà . Integrale su curve e
superfici.