05-03 lun

(DG) Presentazione del corso. Polinomio di Taylor: ricerca di un polinomio di grado al più n le cui derivate in un punto coincidano con quelle di una funzione assegnata fino all’ordine n.

06-03 mar

(DG) Formula di Taylor col resto di Peano. Dimostrazione. Simboli di Landau: \(o\) piccolo e suo significato. \(e^{(-1/x^2)}\): una funzione infinitamente derivabile con tutte le derivate nulle in zero.

07-03 mer

(DG) \(\frac1{1-x}\): una funzione i cui polinomi di Taylor \(P_n\) in 0 convergono alla funzione data per \(n\to0,|x|<1\). Svilippi di Taylor di alcune funzioni elementari: \(e^x, \sin x, \cos x\).

08-03 gio

(DG) Applicazioni del polinomio di Taylor: determinazione di massimi, minimi e flessi in termini di derivate successive.

13-03 mar

(AP) Modulo di continuità. Esempi. Definizione di uniforme continuità.  Funzioni  Lipschitziane  (e funzioni Hölderiane). Il teorema di  Heine-Cantor. Caratterizzazione dell'uniforme continuità  tramite successioni. Uniforme continuità su insiemi aperti e limitati. Esempi.

14-03 mer

(AP) Estendibilità di funzioni uniformemente continue  ai punti di chiusura, caratterizzazione delle funzioni uniformemente continue su insiemi limitati.   Funzioni uniformemente continue su insiemi illimitati: teorema sulla crescita al più lineare. Uniforme continuità  e asintoti. Esempi ed esercizi.

15-03 gio

(AP) Tutorato (esercizi su Taylor e uniforme continuità)

19-03 lun

(DG) Formula di Taylor col resto di Lagrange, stima del resto, esempi di approssimazione di funzioni con precisione data, esempi di polinomi di Taylor che convergono alla funzione originaria per \(n\to\infty\)

20-03 mar

(DG) Esercizi sulla formula di Taylor.

21-03 mer

(AP) Introduzione alla teoria dell'integrazione di Riemann. Esempio: l'area sotto al grafico della parabola. Partizioni, somme integrali inferiori e superiori di una funzione limitata in un intervallo. Proprieta' di monotonia delle somme inferiori e superiori rispetto alle partizioni. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann in un intervallo e di integrale definito.

22-03 gio

(AP) Funzione di Dirichlet. Condizioni necessarie e sufficienti per l'integrabilita' in un intervallo. Oscillazione di una funzione limitata su un insieme. Integrabilita' delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Integrabilita' delle funzioni continue tranne un numero finito di punti.

26-03 lun

(DG) Tutorato (esercizi sulla formula di Taylor con resto di Peano e con resto di Lagrange).

27-03 mar

(AP) Proprietà degli integrali; additività dell'integrale  come funzione d'insieme, linearità e confronto. Integrabilità di |f| e del  prodotto di funzioni integrabili.

28-03 mer

(AP) Media integrale di una funzione. Teorema della media. Funzione integrale, continuità e derivabilità: teorema fondamentale del calcolo. Versione puntuale del Teorema fondamentale. Definizione di primitiva. Caratterizzazione delle primitive in un intervallo. Formula per il calcolo di integrali definiti.

29-03 gio

(AP) Integrale indefinito. Conseguenze del teorema fondamentale del calcolo. Integrale per sostituzione. Esempi.

02-04 lun

(AP) Integrale per parti. Esempi ed esercizi. Altri esempi di integrali per sostituzione: uso delle funzioni trigonometriche o iperboliche nell'integrazione delle funzioni irrazionali.

03-04 mar

(AP) Integrazione delle funzioni razionali:  esempi modello, caso di denominatore quadratico, strategia generale. Cenno alla decomposizione di Hermite per il caso generale.

04-04 mer

(AP) Calcolo di aree di domini normali. Esercizi vari sugli integrali.

05-04 gio

(AP) Tutorato (esercizi su integrali e primitive)

10-04 mar

(DG) Serie numeriche: carattere e somma di una serie, criterio di Cauchy per serie, resto n-esimo di una serie convergente, condizione necessaria per la convergenza di una serie, criterio di convergenza assoluta. Esempi.

11-04 mer

(DG) Serie a termini positivi: criterio del confronto, criterio del rapporto e della radice.

12-04 gio

(AP) Integrali impropri: definizione ed esempi. Criterio del confronto. Esercizi: studio del grafico di funzioni integrali.

16-04 lun

(DG) Criterio del confronto integrale, carattere delle serie armoniche generalizzate, criterio dell’ordine di infinitesimo. Esempi ed esercizi.

17-04 mar

(AP) Esercizi sugli integrali impropri. Criterio di assoluta integrabilita’: esempi.

18-04 mer

(AP) Esempi di integrali convergenti ma non assolutamente convergenti. Esercizi sugli integrali impropri.

19-04 gio

(AP) Tutorato (esercizi su integrali impropri  e serie)

23-04 lun

(DG) Serie a segni alterni: criterio di Leibniz sulla loro convergenza. Esempi di serie convergenti ma non assolutamente convergenti. Riordinamenti e convergenza incondizionata. Proposizione: le serie convergenti a termini positivi sono incondizionatamente convergenti. Le serie assolutamente convergenti sono assolutamente convergenti. Esempi ed esercizi.

24-04 mar

(DG) Serie di Taylor associate e funzioni infinitamente derivabili, funzioni sviluppabili in serie di Taylor (analitiche) in un punto, criterio per l’analiticità e convergenza della serie di Taylor in un intervallo. Esempi: \(e^x,\sin x,\cos x\) coincidono con la propria serie di Taylor (in 0) su \(\mathbb R\). Cenni su serie a termini complessi; la formula di Eulero per esponenziali immaginari: \(e^{i\vartheta}=\cos\vartheta+i\sin\vartheta\).

26-04 gio

(DG) Esercizi di ricapitolazione sulle serie.

02-05 mer

(DG) Spazi metrici: definizione, successioni convergenti e di Cauchy, completezza. Esempio: la metrica discreta. Spazi vettoriali normati (su \(\mathbb R\) o su \(\mathbb C\)), ogni spazio normato è uno spazio metrico. Esempi: \( ({\mathbb R}, | \cdot |)\) , \( ({\mathbb R}^n, \| \cdot \|_\infty)\), lo spazio delle funzioni reali limitate con la norma infinito.

03-05 gio

(DG) Completezza di \( ({\mathbb R}^n, \| \cdot \|_\infty)\) tramite l’equivalenza con la convergenza delle componenti. Definizione di punto interno e di frontiera per spazi metrici, insiemi aperti e chiusi, comportamenti rispetto a unione ed intersezione. Insiemi limitati in spazi metrici. Funzioni continue tra spazi metrici, gli spazi \(L(X,Y)\) delle funzioni limitate tra spazi metrici e \(C(X,Y)\) delle funzioni continue e limitate tra spazi metrici con la distanza \(d_\infty\). Loro completezza se \(Y\) è completo.

07-05 lun

(AP) Equazioni differenziali: motivazioni, modelli ed esempi. Problema di Cauchy.

Equazioni a variabili separabili. Esercizi.

08-05 mar

(AP) Equazioni differenziali lineari del prim’ordine. Formula risolutiva dell’integrale generale e caratterizzazione del problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli. Esempi ed esercizi.

09-05 mer

(AP) Esercizi sulle equazioni del prim’ordine: cenni al problema della stabilita’ degli stati stazionari, fenomeni di estinzione o esplosione in tempo finito. Equazioni del second ’ordine lineari a coefficienti costanti. Conseguenze della linearità dell’operatore differenziale: struttura dell’integrale generale dell’equazione non omogenea.

10-05 gio

(AP) Teorema di unicita’ del problema di Cauchy per equazioni del second’ordine a  coefficienti costanti.  Descrizione dello spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea: condizioni perche’ una coppia di soluzioni sia linearmente indipendente. Soluzioni di tipo esponenziale e risoluzione generale del problema  omogeneo.

14-05 lun

(DG) Dimostrazione della completezza degli spazi \(C(X,Y)\) e \(L(X,Y)\) per \(Y\) completo.

15-05 mar

(DG) \(C(X,Y)\) per \(Y\) spazio di Banach. Norma \(\|\cdot\|_\infty\), convergenza uniforme. Esercizi ed esempi per funzioni reali.

16-05 mer

(AP) Risoluzione completa delle equazioni del second’ordine a coefficienti costanti.

Soluzioni di tipo particolare. Metodo della variazione delle costanti. Esempi ed

esercizi.

17-05 gio

(AP) Applicazione dello studio delle equazioni del second’ordine al moto dell’oscilla-

tore armonico; oscillatore forzato e  smorzato, fenomeno di risonanza. Esercizi.

21-05 lun

(DG) Spazi con prodotto interno, caso reale e complesso. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Norma associata ad un prodotto scalare. Esempi: \({\mathbb R}^n\) e \({\mathbb C}^n\) col prodotto scalare \(\displaystyle (x,y)=\sum_{i=1}^n\overline{x}_iy_i\). Funzioni continue da \([a,b]\) in \(\mathbb R\) con prodotto scalare \(\displaystyle (f,g)=\int_a^bf(x)g(x)\,dx\). Caso di intervalli aperti e/o illimitati.

22-05 mar

(DG) Tutorato su spazi metrici e normati, vedi link a sinistra per gli esercizi proposti.

23-05 mer

(DG) Definizione di equivalenza per norme. Norme equivalenti identificano gli stessi insiemi aperti. Su spazi vettoriali di dimensione finita, tutte le norme sono equivalenti.

24-05 gio

(DG) Controesempio: le norme \(\|\cdot\|_\infty\) e \(\|\cdot\|_2\) su \(C[-1,1]\) non sono equivalenti, vedi esercizio 8 del tutorato 22 maggio. Compattezza (per successioni) in spazi metrici: i compatti sono chiusi e limitati. Compattezza implica completezza. Immagine continua di compatti è compatta. Funzioni continue su compatti sono uniformemente continue.

28-05 lun

(DG) In uno spazio di dimensione finita i chiusi e limitati sono compatti. Controesempi in dimensione infinita: la succesione \(\{\sin n x\}\subset C[0,2\pi]\) à limitata ma non ammette sotto-successioni convergenti. Ancora sulla equivalenza delle norme in dimensione finita.

29-05 mar

(AP) Convergenza uniforme e  passaggio al limite sotto segno di integrale. Esempi e  controesempi.

30-05 mer

(AP) Sulla possibilita’ di commutare le operazioni di limite e derivata. Esempi e  controesempi. Condizioni sufficienti nel caso  la successione delle derivate converga uniformemente. Completezza dello spazio \(C^1\) con norma \(\|f\|_\infty\) e \(\|f\|_\infty\). Lo spazio \(C^1\) non è chiuso, e dunque non è completo, come sottospazio di \(C^0\). Esercizi sulla convergenza uniforme. Criterio di Dini per la convergenza uniforme.

31-05 gio

(DG) Formula di Stirling per il fattoriale: dimostrazione. Assegnato test di preparazione all’esame.

04-06 lun

(DG) Discussione del test di preparazione all’esame.