Mer 5-03-08
ore 16:00, Aula 16 |
Presentazione del corso. |
Gio 6-03-08
ore 16:00, Aula 16 |
Richiami di algebra lineare: autovalori e autovettori per
matrici n x n,
corrispondenza tra matrici ed endomorfismi di
Cn;, il caso delle matrici autoaggiunte:
relazioni col prodotto scalare, autovalori reali, esistenza di una
base ortonormale di autovettori. Un esempio infinito dimensionale:
l'operatore integrale
Determinazione di autovalori e autovettori. Esercizio:
confrontare (f,Tg) con (Tf,g). |
Ven 8-03-08
ore 9:00, Aula 1101 |
Richiami su spazi metrici, normati e con prodotto scalare.
Esistenza del completamento
Esercizio: lo spazio delle successioni di Cauchy modulo
equivalenza è completo.
Il completamento di uno spazio con prodotto scalare è uno
spazio di Hilbert. Completezza di L1[0,1].
Esercizio: L2[0,1] ed l2(N)
sono completi.
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Lun 10-03-08
ore 16:00, Aula 16 |
Spazi di Hilbert: identità del parallelogramma. Somma
diretta di spazi di Hilbert, sottospazio ortogonale di un
sottospazio dato
Esercizio: M⊥⊥=M se e solo se M
è sottospazio chiuso
Lemma della proiezione |
Mar 11-03-08
ore 9:00, Aula 1101 |
Spazi di Hilbert: spazio duale come spazio normato, Lemma di
Riesz. Richiami su assioma della scelta e Lemma di Zorn. Esistenza
di una base ortonormale per spazi di Hilbert.
Esercizi:Densità di Co[0,1] in
L2[0,1]. Densità di
C∞[0,1] in L2[0,1].
Densità dei polinomi su [0,1] in L2[0,1]. Calcolo
dell'ortogonale di {f∈C1[0,1]:f(0)=f(1)}
rispetto al prodotto scalare
Calcolo dell'ortogonale dei polinomi su C rispetto al
prodotto scalare
Discussione dell'esercizio sul completamento di spazi metrici |
Ven 14-03-08
ore 9:00, Aula 1101 |
Operatore di proiezione ortogonale su un sottospazio lineare
chiuso: è lineare, continuo, idempotente e autoaggiunto.
Esercizio Un operatore con tali proprietà è un
operatore di proiezione ortogonale.
Formula dell'operatore di proiezione in termini di una base
ortonormale, metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
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Lun 17-03-08
ore 17:00, Aula 16 |
Spazi di Hilbert separabili, costruzione di una base
ortonormale tramite l'ortonormalizzazione di
Gram-Schmidt. Tutti gli spazi di Hilbert separabili di dimensione
infinita sono isomorfi a l2(N). |
Mer 19-03-08
ore 17:30, Aula 1200 |
Operatori lineari e continui su spazi di Hilbert. Formano
un'algebra di Banach. Aggiunto di un operatore, inverso di un
operatore, risolvente e spettro di un operatore, spettro puntuale. |
Ven 21-03-08
ore 9:00, Aula 1101 |
Serie di Neumann di un operatore di norma <1. Proprietà
del risolvente (A-λ I)-1 di un operatore A. E'
una funzione olomorfa. Thm: Lo spettro è un compatto non vuoto.
Richiami sulla compattezza in spazi topologici e spazi metrici.
Definizione di operatore compatto. Esempio: il cubo di Hilbert
è compatto. Esercizio: l'operatore di
moltiplicazione per 1/n su l2(N) è
compatto. |
| Mer 26-03-08 |
Topologia debole su spazi di Hilbert, sistema fondamentale di
intorni per l'origine, convergenza debole delle successioni.
L'immagine di una successione debolmente convergente tramite un
operatore compatto è convergente in norma.
Su uno spazio di Hilbert separabile, da ogni successione limitata
si può estrarre una sottosuccessione debolmente convergente.
L'immagine della palla unitaria chiusa tramite un operatore
compatto è compatta |
| Gio 27-03-08 |
Esercizio svolto dagli studenti: l2(N)
è completo. |
| Ven 28-03-08 |
Su uno spazio di Hilbert, gli operatori compatti formano uno
(*)-ideale bilatero chiuso.
Esercizio: provare la chiusura.
Esercizio Gli operatori a rango finito formano uno
(*)-ideale bilatero.
La successione degli autovalori (con molteplicità) di un
operatore compatto si accumula al più in zero. |
| Lun 31-03-08 |
Esercizio svolto dagli studenti: caratterizzazione degli spazi
di Hilbert tramite la cardinalità della base ortonormale. |
| Mer 2-04-08 |
Il teorema spettrale per operatori compatti autoaggiunti |
| Gio 3-04-08 |
Esercizio in classe |
| Ven 4-04-08 |
Diagonalizzabilità contemporanea di operatori che
commutano. Teorema spettrale per operatori compatti normali.
Il caso degli operatori compatti non necessariamente normali |
| Lun 7-04-08 |
Esercizi in classe |
| Mer 9-04-08 |
Richiami di teoria della misura. Integrale di Riemann
Stieltjes per f crescente, esempi: f derivabile con derivata continua, f costante
a tratti, f scala di Cantor. |
| Gio 10-04-08 |
Riformulazione del teorema spettrale per operatori compatti
autoaggiunti tramite misure a valori proiettori.
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| Ven 11-04-08 |
Il teorema di rappresentazione di
Riesz: ogni funzionale positivo sulle funzioni continue a
supporto compatto è dato da una misura di Borel. |
| Lun 14-04-08 |
Esercizi svolti dagli studenti: {eint} è una
base ortonormale per L2[0,2π] col prodotto scalare
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| Mer 16-04-08 |
Fine della dimostrazione del teorema di rappresentazione di
Riesz. Lemma di Urysohn. |
| Gio 17-04-08 |
Thm di Weierstrass: la densità dei polinomi nelle funzioni
continue su un compatto di R. |
| Ven 18-04-08 |
La proprietà C* per la norma di B(H).
La formula del raggio spettrale, sua coincidenza con la norma
per operatori autoaggiunti. |
| Lun 21-04-08 |
Fine della dimostrazione del thm di Weierstrass. |
| Mer 23-04-08 |
Il calcolo funzionale continuo e il teorema dello
"spectral mapping" per operatori autoaggiunti limitati. |
| Gio 24-04-08 |
Esercizi svolti dagli studenti: completezza di B(H) (e
più in generale di B(X,Y) se Y è completo). |
| Lun 28-04-08 |
Esercizio: su l2(N) sia T=S M(1/n), ove
M(1/n) en= 1/n en, e
S en= en+1.
Dimostrare che T è compatto
e che σ(T)={0}. |
| Mer 30-04-08 |
Il calcolo funzionale Boreliano per operatori autoaggiunti
limitati. |
| Lun 5-05-08 |
Esercizi svolti dagli studenti: lo spettro di d/dx sulle
funzioni C1[01] con condizioni periodiche.
Fine dell'esercizio sullo spettro di S M(1/n) |
| Mer 7-05-08 |
•
Successioni generalizzate e loro limiti.
Famiglie spettrali e integrali rispetto a misure a valori
operatori |
| Gio 8-05-08 |
Caratterizzazione degli operatori positivi limitati tramite la
positività dello spettro. Esercizi:provare che
A>0,B>0 implica A+B>0 ma non implica AB>0. Provare che A>B>0 non
implica A2>B2. |
| Ven 9-05-08 |
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| Lun 12-05-08 |
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| Mer 14-05-08 |
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| Gio 15-05-08 |
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| Ven 16-05-08 |
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| Lun 19-05-08 |
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| Mer 21-05-08 |
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| Gio 22-05-08 |
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| Ven 23-05-08 |
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| Lun 26-05-08 |
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| Mer 28-05-08 |
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| Gio 29-05-08 |
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| Ven 30-05-08 |
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| Mer 4-06-08 |
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| Gio 5-06-08 |
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| Ven 6-06-08 |
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