Programma dettagliato

Algebra lineare Spazi vettoriali e operatori lineari. Determinante di matrici, metodi di calcolo. Il teorema di Cramer per i sistemi lineari con n equazioni ed n incognite. Rango di una matrice tramite i minori non nulli, metodo dell'orlando. Teorema di Rouché-Capelli, studio di sistemi lineari. Dipendenza e indipendenza lineare tra vettori di Rⁿ, relazione col rango delle matrici. Calcolo delle soluzioni di sistemi lineari in assenza di unicità. Autovalori ed autovettori di matrici. Esempi di calcolo di autovalori ed autovettori.

Modelli di evoluzione lineare per sistemi descritti da due parametri. La legge di evoluzione ed il comportamento asintotico nel caso di autovalori reali e distinti. Modello di due popolazioni in competizione (o cooperazione): un esempio di evoluzione lineare; condizioni per il ritorno all'equilibrio. Un esempio di evoluzione con autovalori complessi coniugati. Relazione tra la condizione di ritorno all'equilibrio e il modulo degli autovalori complessi.

Funzioni in una variabile Funzioni e loro grafici e limiti di funzioni. Domini di funzioni, funzioni iniettive e loro inverse, relazioni fra i grafici. Relazione tra i limiti di funzioni ed il comportamento del grafico, limite sinistro e limite destro. Calcolo di limiti elementari. Limite del rapporto tra polinomi, confronto tra potenze, esponenziali e logaritmi. Definizione di derivata e suo significato. Derivata delle funzioni elementari: x^a, e^x, log x, sin x, cos x. Linearità della derivata. Uso della formula de L'Hospital per il calcolo dei limiti. Regole di derivazione: derivata del prodotto e del rapporto, derivata di ¹/_f . Derivata di funzione composta. Esempi: derivata delle funzioni iperboliche sinh x, cosh x, tgh x. Formula della derivata della funzione inversa, esempi: arcsin x, arctg x. Calcolo di limiti per lo studio della continuità e derivabilità.
Grafici di funzioni. Asintoti orizzontali, verticali ed obliqui. Relazione tra il segno della derivata prima e la crescenza/decrescenza delle funzioni. Ricerca di massimi e minimi relativi. Convessità e concavità in un intervallo tramite la posizione relativa del grafico della funzione e quello della retta tangente in un suo punto, relazione col segno della derivata seconda. Punti di flesso. Ricerca di zeri di funzioni. Diseguaglianze tramite il calcolo differenziale
Polinomio di Taylor col resto di Peano. Applicazione al calcolo dei limiti.

Modelli di evoluzione non lineare per sistemi descritti da un parametro : x_n+1=f(x_n). Studio dei punti stazionari x=f(x). Stabilità dei punti stazionari: |f '(x)|<1. Evoluzione per sistemi dinamici descritti da funzioni crescenti. Intervalli di attrazione tra punti di equilibrio. Ulteriori criteri per la determinazione di intervalli di attrazione dei punti di equilibrio.

Calcolo integrale, definizioni e prime proprietà, integrali definiti, indefiniti e primitive. Formula di integrazione per sostituzione, formula di integrazione per parti, integrazione di funzioni razionali.