Programma del corso di Analsi matematica 3
Corso di laurea in Matematica
A.A. 05/06
Serie di funzioni.
Spazi metrici, spazi normati e spazi con prodotto scalare:
definizioni e relazioni. Esempi: Rn e
Cn con prodotto scalare, C[a,b] con la
norma dell'estremo superiore.
Successioni in spazi metrici, completezza di Rn e
di C[a,b]. Successioni e serie di funzioni, convergenza
uniforme e totale, passaggio al limite sotto segno di integrale e di
derivata. Teorema della convergenza monotona del Dini (facoltativo).
Serie di potenze e raggio di convergenza. Formula per il raggio di
convergenza. Derivabilità e integrabilità termine a termine
delle serie di potenze. Teorema di Abel sulla convergenza uniforme delle
serie di potenze (facoltativo). Serie di potenze e serie di Taylor.
Condizioni di convergenza per le serie di Taylor.
Serie di Fourier. Coefficienti di Fourier per funzioni integrabili
periodiche a valori complessi, le serie di Fourier in [-π,π).
Diseguaglianza di Bessel. Convergenza delle serie di Fourier: convergenza
puntuale per funzioni C1 a tratti, convergenza totale per
funzioni continue e C1 a tratti. Convergenza uniforme
negli intervalli chiusi di continuità per funzioni
C1 a tratti (facoltativo).
Funzioni di più variabili.
Limiti e continuità per funzioni da Rn a
Rm, equivalenza tra continuità di una funzione e
continuità delle sue componenti. Continuità separata.
Topologia di Rn, insiemi aperti, chiusi e compatti
(per successioni). Teoremi: un sottoinsieme di Rn
è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Una funzione
continua a valori reali su un compatto ammette massimo e minimo ed è
uniformemente continua.
Differenziabilità, derivate parziali e direzionali. Le
funzioni differenziabili sono continue. Una funzione con tutte le derivate
direzionali in un punto che non è continua in quel punto. Ulteriori
conseguenze della differenziabilità: esistenza di tutte le derivate
direzionali, loro espressione in termini delle derivate parziali. Piano
tangente e sua equazione. Teorema del differenziale totale. Differenziale
di funzioni composte.
Derivate successive. Lemma di Schwartz. Formula di Taylor per
funzioni di più variabili. Le funzioni differenziabili con
gradiente nullo in un aperto connesso sono costanti.
Punti di massimo e minimo relativo. Punti stazionari. Condizioni
necessarie e condizioni sufficienti per i punti di massimo o minimo
relativo per funzioni C2 in termini della matrice
Hessiana. Punti di sella.
Sottovarietà di Rn.
Il teorema della funzione implicita. Dimostrazione nel caso
bidimensionale. Il teorema del diffeomorfismo locale.
Massimi e minimi vincolati. Definizioni di sotto-varietà di
dimensione k in Rn. Vettori tangenti e vettori
normali. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
Curve in Rn. Lunghezza di curve e
rettificabilità. Integrali curvilinei.
Testi consigliati:
E. Giusti. Analisi matematica 2, Bollati Boringhieri.