Programma del corso di Analsi matematica 3
Corso di laurea in Matematica
A.A. 03/04
Serie di funzioni.
Spazi metrici, spazi normati e spazi con prodotto scalare:
definizioni e relazioni. Esempi: Rn con prodotto
scalare, C[a,b] con la norma dell'estremo superiore. Norme
con peso nello spazio delle funzioni.
Successioni in spazi metrici, completezza di Rn e di
C[a,b]. Serie in spazi normati, convergenza totale.
Continuità del funzionale integrale su C[a,b].
Passaggio al limite sotto segno di integrale e di derivata.
Serie di potenze e raggio di convergenza. Formula per il raggio di
convergenza. Derivabilità e integrabilità termine a termine
delle serie di potenze. Teorema di Abel sulla convergenza uniforme delle
serie di potenze. Serie di potenze e serie di Taylor. Condizioni di
convergenza per le serie di Taylor. Prodotti e rapporti tra funzioni
sviluppabili in serie di Taylor nell'intorno di un punto.
Serie di Fourier. Coefficienti di Fourier
per funzioni integrabili periodiche, funzioni pari o dispari. La serie di
Fourier di x in [-π,π). Diseguaglianza di Bessel. Convergenza
puntuale delle serie di Fourier per funzioni regolari a tratti. Ulteriori
teoremi di convergenza per serie di Fourier: convergenza totale per
funzioni continue e regolari a tratti e convergenza uniforme negli
intervalli chiusi di continuità per funzioni regolari a tratti.
Passaggio al limite sotto segno di integrale per serie di Fourier.
Funzioni di più variabili.
Limiti e continuità per funzioni da Rn a
Rm, equivalenza tra continuità di una funzione e
continuità delle sue componenti. Continuità separata.
Topologia di Rn, insiemi aperti, chiusi e compatti
(per successioni). Teoremi: un sottoinsieme di Rn
è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Una funzione
continua a valori reali su un compatto ammette massimo e minimo ed è
uniformemente continua.
Differenziabilità, derivate parziali e direzionali. Le
funzioni differenziabili sono continue. Una funzione con tutte le derivate
direzionali in un punto che non è continua in quel punto. Ulteriori
conseguenze della differenziabilità: esistenza di tutte le derivate
direzionali, loro espressione in termini delle derivate parziali. Piano
tangente e sua equazione. Significato geometrico del gradiente di una
funzione. Teorema del differenziale totale. Differenziale di funzioni
composte.
Derivate successive. Lemma di Schwartz. Formula di Taylor con resto
di Lagrange e di Peano per funzioni di più variabili. Le funzioni
differenziabili con gradiente nullo in un aperto connesso sono costanti.
Punti di massimo e minimo relativo. Punti stazionari. Condizioni
necessarie e condizioni sufficienti per i punti di massimo o minimo
relativo per funzioni C2 in termini della matrice
Hessiana. Punti di sella. Problemi di massimo e minimo tramite curve di
livello.
Sottovarietà di Rn.
Il teorema della funzione implicita. Dimostrazione del teorema del
Dini nel caso bidimensionale. Teorema delle contrazioni. Il teorema del
Dini nel caso generale. Il teorema del diffeomorfismo locale. Applicazioni:
coordinate polari e sferiche.
Massimi e minimi vincolati. Definizioni di
sotto-varietà di dimensione k in Rn.
Vettori tangenti e vettori normali. Il teorema dei moltiplicatori di
Lagrange.
Curve in Rn. Ascissa curvilinea ed equivalenza
delle parametrizzazioni regolari. Integrali curvilinei.
Integrabilità e formula di integrazione.
Testi consigliati:
E. Giusti. Analisi matematica 2, Bollati Boringhieri.