Programma dettagliato
Calcolo differenziale
Derivabilità e derivata Definizioni, significato geometrico,
derivabilità e continuità. Regole di derivazione per somma,
prodotto, rapporto e composizione di funzioni. Derivate di funzioni
notevoli. Calcolo delle derivate mediante applicazioni delle regole di
derivazione. Derivate di funzioni contenenti il modulo, derivata di
funzioni inverse. Derivate di funzioni definite a tratti o anche in modo
irregolare. Modi diversi di non derivabilita in un punto (cuspidi ecc).
Richiami su funzioni trigonometriche inverse. Derivata di funzioni definite
a tratti.
Teoremi di calcolo differenziale Annullamento della derivata nei
punti di massimo e minimo relativi interni. Teoremi di Rolle, Lagrange e
Cauchy e loro conseguenze: monotonicità e segno della derivata;
teorema di De l'Hopital. Relazioni tra la derivata in un punto e il limite
della derivata in quel punto.
Derivate successive Convessità e concavità di una
funzione in un intervallo. Segno della derivata seconda e
convessità
Formula di Taylor Formula di Taylor con resto di Peano e di
Lagrange. Massimi e minimi e segno delle derivate successive nei punti
stazionari. Limiti con l'uso delle formule di L'Hopital e con la formula di
Taylor.
Studi di funzioni Asintoti per grafici di funzioni. Studi di
funzioni con applicazioni a disuguaglianze e numero di soluzioni di
equazioni. Uso della formula di Taylor per i limiti e per il calcolo
approssimato di valori di funzioni. Esempio di funzione con tutte derivate
nulle non sviluppabile in serie di Taylor.
Serie a termini non positivi
Serie a termini non positivi, convergenza assoluta, serie telescopiche,
serie a segni alterni, criterio di Leibniz. Criterio della radice e del
rapporto anche per serie a termini di segno qualunque. Riordinamenti e
convergenza assoluta (cenni).
Serie di Taylor e funzioni analitiche
Esempi: la funzione esponenziale e le funzioni sin x e cos x.
Analiticità in 0 della funzione 1/(1-x), convergenza della serie di
Taylor tramite stima del resto e tramite la serie geometrica. Insieme di
convergenza delle serie di Taylor; esempio: (x+1) log(x+1).
Uniforme continuità
Uniforme continuità delle funzioni continue in un compatto.
Estendibilità alla chiusura delle funzioni uniformemente continue.
Uniforme continuità in presenza di asintoti obliqui.
Calcolo integrale
Integrale di Riemann Funzioni costanti a tratti e loro integrale,
funzioni integrabili secondo Riemann e definizione di integrale di Riemann,
formulazioni equivalenti dell'integrabilità. Esempi di una funzione
integrabile secondo Riemann ( f(x)=x in [0,1) ) e di una funzione non
integrabile secondo Riemann (la funzione di Dirichlet in [0,1) ).
Linearita' e monotonicita' dell'integrale; additivita' rispetto al dominio
di integrazione. Integrabilita' delle funzioni continue e delle funzioni
monotone. Integrabilità su [a+δ,b-δ] per ogni δ>0
e limitatezza su [a,b] implicano integrabilità su [a,b]. Teorema
della media integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale.
Regole di calcolo integrale Primitive delle funzioni elementari
(potenze, seni e coseni, esponenziali, etc.). Regole di integrazione per
sostituzione e per parti. Integrali di funzioni razionali. Uso di seno e
coseno iperbolico per i calcoli di integrali indefiniti.
Integrali impropri Definizione di integrale improprio. Esempi:
integrabilità di x- a in (0,1) per a<1 ed
in [1,+∞) per a>1; integrabilità di
1/(x(logx)b) in [2,+∞) per b>1.
Criterio del confronto e della convergenza assoluta per integrali impropri.
Esempio: convergenza assoluta di (sin x)/x2 in
[1,+∞), convergenza semplice ma non assoluta di (sin
x)/x in [1,+∞). Criterio di convergenza integrale per
serie. Integrabilità in senso improprio di funzioni mediante criteri
(confronto anche asintotico, e convergenza assoluta). Casi in cui
l'integrale improprio deve essere spezzato in più parti per la
presenza di più punti da controllare.
Equazioni differenziali
Equazioni a variabili separabili, problema di Cauchy. Esempio: caduta di
un grave frenato. Equazioni differenziali lineari del primo ordine
omogenee. Equazioni differenziali lineari del primo ordine non omogenee: il
metodo di variazione delle costanti.
Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti di ordine
n: lo spazio vettoriale delle soluzioni. Caso n=2: forma
generale delle soluzioni.