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Title: L'operatore modulare e la classificazione delle algebre di seconda quantizzazione Authors: D. Guido Tesi di Dottorato (Roma 1988)

In questa tesi mi occuperò essenzialmente di alcune proprietà del modello del campo di Bose libero. Tali questioni sono da un lato connesse con problematiche di origine fisica, come ad esempio l'esistenza di dinamiche locali associate alle algebre del campo libero nella rappresentazione di Fock, o la proprietà di indipendenza statistica legata all'esistenza di un fattore di tipo I interpolante tra le algebre relative a due regioni l'una strettamente contenuta nell'altra; d'altra parte riguardano la classificazione delle algebre di von Neumann, ed in particolare l'esistenza di fattori di tipo III\(_\lambda\), \(\lambda\in [0,1]\), tra i fattori di II quantizzazione, e la struttura generale della famiglia dei sottospazi standard di uno spazio di Hilbert in relazione alle algebre di seconda quantizzazione ad essi associate. In particolare, nei capitoli 1 e 2 enuncerò alcune definizioni e teoremi riguardanti le algebre di von Neumann che saranno gli strumenti base dell'analisi dei capitoli successivi. Nel capitolo 3 descriverò le problematiche fisico matematiche di cui mi occuperò nel seguito, e gli assiomi di Haag e Kastler, cioè l'ambito all'interno del quale tali problematiche sono nate. Nei capitoli 4 e 5 definirò il campo di Bose libero e il campo libero scalare neutro, le cui algebre locali sono l'oggetto principale del mio studio, e nel capitolo 6 verrà messa in luce la relazione tra l'operatore \(\delta\) associato ad un generico spazio standard e l'angolo fra due spazi vettoriali, ottenendo una condizione necessaria affinché tra due spazi uno contenuto nell'altro ve ne sia un terzo con opportune proprietà spettrali di \(\delta\), le quali equivalgono al fatto che l'algebra di II quantizzazione associata sia un fattore di tipo I. Ciò estende quindi la problematica precedentemente accennata sull'esistenza del fattore interpolante al caso generale delle algebre di II quantizzazione. Nel capitolo 7 c'è poi la parte principale del mio studio, e cioè la classificazione delle algebre di II quantizzazione. Più precisamente a partire dall'applicazione \(K\to\mathcal{R}(K)\) che associa ad ogni sottospazio reale di uno spazio di Hilbert complesso un'algebra di von Neumann, verranno descritte tutte le classi di isomorfismo di algebre di von Neumann così ottenute, ed in particolare l'esistenza tra esse di fattori di tipo III\(_\lambda\), \(\lambda\in (0,1]\) e III\(_0\), ed alcuni criteri pratici per ottenere tali fattori a partire dallo spettro dell'operatore \(\delta\) associato a \(K\). Infine, nel capitolo 8, descriverò un risultato ottenuto in collaborazione con la Dottoressa Franca Figliolini, e cioè la forma esplicita dell'operatore \(\Delta\) associato alle algebre locali del campo libero scalare neutro nella rappresentazione al tempo zero, ed utilizzerò tale forma, insieme con un criterio descritto nel capitolo 7, per riottenere in modo molto semplice il fatto che le algebre locali del campo libero sono fattori di tipo III\(_1\).