Proclo, storico della matematica del V secolo dopo Cristo, legato alla filosofia neo-platonica, attribuisce a Pitagora la scoperta dei 5 poliedri regolari:

Pitagora, venuto dopo di lui (cioé di Talete) trasformò questa scienza in una forma di educazione liberale, riconducendone i principi a idee ultime e dimostrandone i teoremi in amniera astratta e puramente intellettuale. Fu lui a scoprire la teoria delle proporzioni e la costruzione delle figure cosmiche.

La mancanza di frammenti attribuibili a Pitagora rende difficilmente dimostrabile questa tesi, tuttavia nel Timeo di Platone, di poco successivo a Pitagora, troviamo una descrizione precisa dei 5 corpi regolari, cioé dei possibili solidi sfaccettati che abbiano le facce, gli spigoli e gli gli angoli, uguali tra loro. Platone userà questa straordinaria scoperta come simbologia dell'universo e dei suoi elementi base: il fuoco (tetraedro), la terra (cubo), l'aria (ottaedro) e l'acqua (l'icosaedro). Il quinto poliedro regolare, il dodecaedro, era a simboleggiare la quinta essenza che tutto avvolge e comprende. La metafora ha un qualche senso matematico dato che è possibile dimostrare che l'unico poliedro regolare nel quale sia possibile inscrivere gli altri 4 è il dodecaedro. Questa tradizione neo-platonica resterà viva fino a Keplero che credette di poter descrivere i moti dei pianeti in termini di poliedri e loro reciproche inclusioni. L'applet Polyhedra realizzato da Gian Marco Todesco e pubblicato sul CD Divina Proporzione, il Trattato di Luca pacioli con i disegni di Leonardo da Vinci e il libello di Piero della Francesca , edizione Hochfeiler, permette di visualizzare in modo interattivo le possibili inclusioni di un poliedro regolare in un altro.

La dimostrazione che sono possibili al massimo 5 corpi regolari si trova, come abbiamo detto, anche nel Timeo di Platone (e in tutti i testi di divulgazione su questo argomento) e non è difficile: dato che in ogni vertice del poliedro si deve creare un angoloide, ci vogliono almeno tre facce ed in più deve accadere che la somma degli angoli delle facce che concorrono a quel vertice deve essere minore di 360 gradi; in caso contrario infatti le facce si appiattirebbero in uno stesso piano. Questo implica che non è possibile avere facce esagonali o con un numero maggiore di lati dato che questi poligoni hanno angoli maggiori di 120 gradi. Restano dunque possibili solo 5 casi

Si vede quindi facilmente che non possono esistere più di 5 poliedri regolari, ma la cosa di gran lunga più sorprendente è che di fatto questi cinque esistono. Oltre al cubo che possiamo facilmente immaginare (le 6 basi sono quadrati uguali e gli angoli tra due basi sono tutti retti) esistono altri quattro corpi con tutte queste caratteristiche di regolarità e simmetria che abbiamo richieste. Possiamo di fatto costruire un corpo solido sfaccettato, con 5 triangoli equilateri che concorrono in ogni vertice, che si chiude e che appare, qualunque sia la base su cui venga appoggiato, identico a se stesso. Quante facce avrà questo oggetto? quanti vertici? Ugualmente esistono i corrispondenti solidi per ognuno delle possibilità elencate innanzi. L'effettiva costruzione di questi poliedri, che è patrimonio distintivo della cultura scientifica occidentale, e che non ha uguali nella matematica cinese o indiana o babilonese, si trova nel tredicesimo libro degli Elementi di Euclide e rappresenta in un certo senso il punto di arrivo della geometria classica. Queste costruzioni, che non sono facili, nei libri di divulgazione sono generalmente omesse trascurando in questo modo proprio gli aspetti più ingegnosi e stimolati della geometria euclidea.

Ecco i 5 corpi regolari disegnati da Leonardo da Vinci per illustrare il bellissimo manoscritto di Luca Pacioli De divina proportione (1498). Cliccando sulle immagini appare una animazione che descrive la costruzione del poliedro passo a passo. Le musiche che accompagnano le costruzioni sono state fatte da un gruppo di studenti della facoltà di lettere dell'Università di Roma Tor Vergata e le animazioni sono state pubblicate dall'editore Hochfaielr nel CD sopra menzionato.