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Matematica discreta 2 Complementi ed esercizi dell'Unità 5. |
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Calcolo di una base per lo spazio dei quadrati magici di ordine 4 In questo paragrafo usiamo l'algoritmo generale che permette di calcolare esplicitamente una base per lo spazio ortogonale per trovare una base e la dimesione dello spazio dei quadrati magici di ordine 4. Ricordiamo che un quadrato magico 4x4 è una tabella di numeri  dove la somma dei numeri su ogni riga ogni colonna e ogni diagonale è lo stesso. Dato che la somma di quadrati magici e il prodotto per uno scalare si esegue sulle singole componenti, possiamo identificare un quadrato magico con un vettore numerico x a 16 componenti. Lo spazio V dei quadrati magici di ordine 4 risulta così un sottospazio vettoriale di R16. Naturalmente un vettore x appartiene a V se e solo se le sue componenti verificano le condizioni che definiscono il quadrato magico cioé se e solo se  Si tratta dunque di risolvere un sistema di equzioni lineari omogeneo di 9 equazioni in 16 incognite. La matrice A del sistema è la matrice  Si tratta ora di ridurre la matrice con l'algoritmo di Gauss facendo trasformazioni elementari sulle righe. Alla fine del calcolo si trova la seguente matrice ridotta con i relativi pivot cerchiati in rosso.  La matrice ha rango 8 e quindi la dimensione dello spazio V è data da 16-8 = 8. Per trovare una base di V dobbiamo risolvere il sistema ridotto individuando le 8 variabili libere e partendo dall'ultima equazione. Guardando la matrice si vede che le variabili libere sono x8, x10, x11 x12, x13, x14, x15, x16. Risolvendo il sistema dal basso, chiamando t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7, t8 le 8 variabili libere, abbiamo per le ultime 9 incognite, i valori  continuando a risolvere le equazioni dal basso troviamo = t8 + (t1 + t2 + t3 + t4 - t5 - t6 - t7 + t6) + 2t5 - 2t4 - t3 - t2 = = t1 - t4 + t5 - t7 + t8 e dunque Con calcoli analoghi troviamo x5 = t6 + t7 - t8 x4 = t2 + t3 + t4 - t5 -t8 x3 = t3 +2t4 - t5 - t6 + t7 - t8 x2 = t1 - t3 - t4 + t5 + t6 - t7 + t8 x1 = -t4 + t5 + t8 Il coefficiente di t1 nelle 12 variabili fornisce il primo vettore della base che stiamo cercando: abbiamo analogamente per gli altri u3 = (0,-1,1,1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,) u4 = (-1,-1,2,1,0,2,-1,0,1,0,0,0,1,0,0,0) u5 = (1,1,-1,-1,0,-1,1,0,-1,0,0,1,0,0,0,0) u6 = (0,1,-1,0,1,-1,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0) u7 = (0,-1,1,0,1,0,-1,0,-1,1,0,0,0,0,0,0) u8 = (1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0) Gli 8 vettori che abbiamo trovato sono una base per lo spazio delle soluzioni del sistema e ogni soluzione x si esprime
come loro combinazione linare Scrivendo i vettori che abbimo trovato come quadrati magici possiamo dire che ogni quadrato magico di ordine 4 si esprime in modo unico come combinazione lineare degli 8 quadrati magici rappresentati, nell'ordine, nella figura seguente.  E' immediato verificare, a riprova, che questi 8 diagrammi sono quadrati magici di ordine 4 linearmente indipendenti, infatti la posizione grigia, in ogni quadrato, è nulla in tutti gli altri 7. In particolare, a partire da questa base, è facile scivere un dato quadrato come combinazione lineare questi: il coefficiente di u1 sarà quello in basso a sinistra (x16), il coefficente di u2 sarà x15 ecc. ecc. In particolare il quadrato d di Durer si scrive
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