Unità 3

Lezioni di Geometria

Franco Ghione

La nozione di spazio vettoriale su un campo K

Sia K un campo, cioé un insieme di elementi tra i quali sono definite le 4 operazioni elementari dell'aritmetica: somma, differenza, prodotto e divisione con le stesse proprietà formali che valgono per gli ordinari insiemi di numeri. Una definizione dettagliata di questa struttura e delle sue proprietà sarà data nel corso di Algebra. In questo corso, per semplicità, supponiamo, salvo avviso contrario, che K sia l'insieme dei numeri reali. Gli elementi di K sarnno anche detti anche, seguendo una terminologia usata soprattutto dai fisici, scalari e saranno indicati con caratteri corsivi.
Uno spazio vettoriale V sul campo K è dato da un insieme V, i cui elementi sono detti vettori, sulla natura concreta dei quali nulla è noto, ma che è possibile far interagire tra loro e con gli scalari rispettando alcune regole formali che ci consentono di fare calcoli algebrici analoghi a quelli che si eseguono nell'aritmetica elementare. I vettori saranno sempre indicati con lettere in grassetto.
Le regole che postuliamo sono le seguenti.
Dati due elementi di V, u e v, è possibile determinare in modo univoco un ben definito ulteriore elemento di V, che dipende da quelli, che denotiamo con u + v e che chiamiamo la somma di u con v. Postuliamo che questa operazione di somma verifichi le seguenti proprietà

(u + v) + w = u + (v + w) (proprietà associativa)
comunque si scelgano i tre elementi u, v e w in V

u + v = v + u (proprietà commutativa)
comunque si scelgano i due elementi u, v in V

Esiste un ben determinato elemento di V, che denotiamo col simbolo 0, tale che, per ogni vettore u di V risulti
0 + u = u (esistenza del vettore nullo)

Per ogni vettore u di V esiste un ben definito vettore che chiamiamo opposto di u e indichiamo col simbolo -u , tale che
u + (-u ) = 0 (esistenza dell'opposto)

Per semplificare la notazione, come normalmente viene fatto nell'aritmetica elementare, indichiamo il vettore u+(-v) col simbolo u - v, vettore questo che viene anche detto differenza di u con v.

Oltre a questo, postuliamo che sia definita una ulteriore operazione che permette di moltiplicare uno scalare a di K con un vettore u di V ottenendo come risultato un nuovo vettore denotato col simbolo a.u. Postuliamo che questa ulteriore operazione verifichi le seguenti proprietà, per ogni possibile scelta degli scalari a e b e dei vettori u e v:

(a + b).u = a.u + b.u
a.(u + v) = a.u + a.v
a.(b.u) = (ab).u
1.u = u e (-1).u= -u

A partire da queste regole di calcolo che postuliamo e usando quelle che Euclide chiama nozioni comuni possiamo costruire una teoria matematica assiomatico-deduttiva fatta di definizioni, teoremi e dimostrazioni. Le nozioni comuni che permettono di articolare delle dimostrazioni formalmente corrette stabiliscono che:

se a cose uguali aggiungiamo (o togliamo) cose uguali ciò che resta sono cose uguali
In simboli: se A = B allora A + C = B + C

se moltiplichiamo (o dividiamo) cose uguali per cose uguali, ciò che resta sono cose uguali
In simboli: se A = B allora a.A = a.B

Alcune proprietà utili nel calcolo si dimostrano facilmente a partire dagli assiomi e dalle nozioni comuni. Diamo di seguito alcune di queste utili nei calcoli vettoriali.

0.u = 0 per ogni vettore u dello spazio ( regola di annullamento del prodotto) (dimostrazione)
-(-u) = u per ogni vettore u dello spazio ( regola dei segni) (dimostrazione)
a(u₁ + u₂ + ... + u_n) = au₁ + au₂ + ... + au_n (dimostrazione)
(a₁ + a₂ + ... + a_n) .u = a₁ .u+ a₂.u + ... + a_n.u (dimostrazione)

Se V è uno spazio vettoriale e se W è un sottoinsieme non vuoto di V i vettori di W possono sommarsi e moltiplicarsi per uno scalare, essendo in particolare dei vettori di V. Quando accade che, operando in tutti i modi possibili con queste due operazioni, coi vettori di W si trova sempre un vettore di W, diciamo che W è un sottospazio vettoriale di V. In altri termini W è un sottospazio vettoriale di V se e solo se è non vuoto e

la somma di due qualunque vettori di W è un vettore di W
il prodotto di un qualunque scalare a per un qualunque vettore w di W è ancora un vettore di W.

I primi esempi di sottospazi vettoriali vengono dalla geometria. Sia V lo spazio vettoriale formato dai vettori geometrici e sia r una retta dello spazio. L'insieme dei vettori geometrici AB definiti da due punti A e B delle retta r si chiama lo spazio dei vettori di r, spazio che indichiamo col simbolo W_r:

W_r = {AB : A e r, B e r}

Analogamente se a è un piano dello spazio L'insieme dei vettori geometrici AB definiti da due punti A e B del piano a si chiama lo spazio dei vettori di a, spazio che indichiamo col simbolo W_a:

W_a = {AB : A e a, B e a}

E' chiaro che questi sottoinsiemi di V sono sottospazi vettoriali. Indichiamo la dimostrazione nel caso dei piani. Siano AB e CD due vettori di W_a allora la somma AB + CD è ancora un vettore di W_a, infatti possiamo intanto trovare un punto D' del piano a tale che CD = BD' e quindi il vettore AB + CD = AB + BD' è un vettore di W_a. Ugualmente è facile vedere che se AB è un vettore del piano W_a allora ogni suo multiplo è un vettore di W_a. Infatti il vettore aAB = AC essendo C un punto della retta AB, la quale, essendo A e B punti di a è contenuta in a. Ne segue che anche il punto C è contenuto in a e quindi AC è un vettore di W_a.
L'introduzione di questi spazi è molto importante perché permette di tradurre fatti geometrici nel linguaggio degli spazi vettoriali. Ad esempio se r e r' sono due rette dello spazio, allora r è parallela a r' se e solo se W_r = W_r'.
Analogamente se a e a' sono due piani dello spazio allora a e a' hanno la stessa giacitura se e solo se W_a = W_a'.

Sia V uno spazio vettoriale diciamo che un vettore u è combinazione lineare dei vettori u₁, u₂, ... , u_m se esistono degli scalari a₁, a₂, ... ,a_m tali che

u = a₁.u₁ + a₂.u₂ +... + a_m.u_m

Fissati i vettori u₁, u₂, ... , u_m, l'insieme di tutte le loro possibili combinazioni lineari è un sottoinsieme di V che si indica col simbolo Span(u₁, u₂, ... , u_m). In formule

Span(u₁, u₂, ... , u_m) = { a₁u₁ + a₂u₂ + ... + a_mu_m | al variare degli scalari a₁, a₂, ... ,a_m}

Teorema 1
Dati m vettori, u₁, u₂, ... , u_m, di uno spazio vettoriale V, il sottoinsieme Span(u₁, u₂, ... , u_m) è un sottospazio vettoriale di V.
(dimostrazione)

Un problema che si pone è quello di sapere quando, dati due insiemi di vettori, uno formato dagli m vettori u₁, u₂, ... , u_m e l'altro dai k vettori v₁, v₂, ... , v_k, risulti

Span(u₁, u₂, ... , u_m) = Span(v₁, v₂, ... , v_k)

Il problema è interessatnte anche quando si tratti di pochi vettori. Già nel caso m=1, n=1 non è del tutto ovvio un criterio che mi dica quando Span(u) = Span(v). Discutiamo nella nota alcuni criteri proposti dagli studenti utili a chiarire il ruolo e l'importanza dei quantificatori (per ogni ed esiste) nella matematica moderna.

Il seguente teorema ci offre un criterio molto semplice per rispondere alla nostra domanda

Teorema 2
Dati due insiemi finiti di vettori di uno spazio vettoriale V, uno formato dagli m vettori u₁, u₂, ... , u_m e l'altro dai k vettori v₁, v₂, ... , v_k, risulta

se e solo se

(dimostrazione)

Dal teorema 2 segue che
Span(u₁, u₂, ... , u_m) = Span(v₁, v₂, ... , v_k)
se e solo se tutti gli m vettori u_i (i=1,2,...,m) appartengono allo spazio Span(v₁, v₂, ... , v_k), cosí che, per il teorema 2, lo spazio generato dai vettori u risulta contenuto vello spazio generato dai vettori v, e in più tutti i vettori v_j (j=1,2,...,k) appartengono allo spazio Span(u₁, u₂, ... , u_m) , cosí che, per il teorema 2, lo spazio generato dai vettori v risulta contenuto vello spazio generato dai vettori u. I due spazi risultano quindi uno incluso nell'altro e pertanto sono uguali.

Il teorema precedente implica anche che, se il vettore u_m è combinazione lineare dei vettori u₁, u₂, ... , u_m-1, allora Span(u₁, u₂, ... , u_m) = Span(u₁, u₂, ... , u_m-1)
Esercizi