Le successioni di Fibonacci come si capisce facilmente sono infinite. Il fatto importante è che possiamo definire delle oeperazioni del tutto analoghe a quelle che abbiamo sui vettori, che, come risultato producono invariabilmente successioni di Fibonacci. La "somma" si esegue sommando tra loro i termini delle due successioni cha hanno lo stesso posto. In questo modo si ottiene ancora, come è facile vedere, una successione di Fibonacci. Così la somma di F e G calcolata con questa regola da la successione

che si vede verifica ancora la legge ricorsiva che definisce le successioni di Fibonacci.
La "moltiplicazione per uno scalare a" si esegue moltiplicando per a ogni singolo termine della successione. Il risultato di questa operazione da ancora una successione di Fibonacci. Così il prodotto di F per -2 da luogo alla successione

Non è difficile vedere che, rispetto a queste due operazioni la totalità di tutte le successioni di Fibonacci forma uno spazio vettoriale. Possiamo dunque applicare anche in questa situazione le noszioni e i teoremi che si ottengono, in generale, a partire dai postulati degli spazi vettoriali. In particolare possiamo parlare di dipendenza ed indipendenza lineare, di basi, di dimensione.

Possiamo vedere intanto che le successioni F e G che abbiamo introdotto sopra sono linearmente indipendenti. Se supponiamo infatti che esistano due scalari a e b tali che aF + bG = 0 avremmo

e, se questa è la successione nulla, dovranno essere nulli tutti i coefficienti e, in particolare, il primo e il terzo: a-b=0, 2a=0. Ma questo si può verificare se e solo se i due coefficienti a e b sono entrambi nulli. Questo dimostra che l'unica combinazione lineare nulla delle successioni F e G è quella banale e ciò si esprime dicendo che le due successioni sono linearmente indipendenti. Poiché il numero di vettori di una base è il massimo numero di vettori linermente indipendenti, abbiamo che la dimensione dello spazio delle successioni di Fibonacci è almeno 2.

Da un punto di vista intuitivo ci rendiamo conto che una successione di Fibonacci è univocamente determinata se conosciamo i primi due termini perché gli altri si possono calcolare a partire da quelli con la regola ricorsiva. Essa dunque dipende da due parametri arbitari indipendenti uno dall'altro. Il numero di parametri indipendenti dai quali dipendono i "vettori" di un dato spazio vettoriale coincide proprio con la sua dimensione. Per vedere questo in modo più preciso, chiaro e senza ambiguità (ed è per questo che il linguaggio scientifico diventa necessario) dobbiamo produrre una base dello spazio formata da due elementi. Notiamo intanto che, se indichiamo con a il primo elemento di una qualunque successione di Fibonacci X e con b il secondo, l'intera successione, come abbiamo detto, è univocamente determinata dalla legge ricorsiva e diventa:

Si vede subito, con lo stesso medoto usato per F e G, che le due successioni sono linearmente indipendenti, ma in più queste generano l'intero spazio dal momento che la generica successione X si scrive come loro combinazione lineare:

{ E₁ , E₂ } è dunque una base e perciò lo spazio delle successioni di Fibonacci ha dimensione 2. In questo senso possiamo dire che lo spazio delle successioni di Fibonacci è analogo allo spazio dei vettori geometrici contenuti in un piano perché anche quelli possono essere espressi come combinazioni lineari di due dati vettori geometrici indipendenti. Il fatto che lo spazio abbia dimensione 2, ci dice anche, usando la teoria generale delle basi di uno spazio vettoriale, che ogni coppia di successioni linearmente indipendenti forma una base dello spazio. In particolare la coppia {F,G} è una base e quindi ogni successione di Fibonacci si può scrivere come combinazione lineare di queste due successioni. Ad esempio abbiamo

Nel medesimo modo col quale abbiamo trattato le successioni di Fibonacci, possiamo trattare le soluzioni di una relazione ricorsiva lineare e omogenea di grado k. Una soluzione di una tale relazione ricorsiva è una successione di scalari A= {a₁, a₂, ... ,a_n, ...} tale che