Matematica discreta 2

Complementi ed esercizi dell'Unità 2.

Prodotti scalari

Il prodotto scalare tra due vettori geometrici è una operazione che associa a una coppia data di vettori un numero che è sensibile sia alle grandezze (moduli) dei due vettori che all'angolo col quale uno si inclina sull'altro. Se u e v sono i due vettori, il loro prodotto scalare è per definizione

u .v = |u|.|v|cos(t)

Notiamo che il fattore |v|cos(t) è la lungezza, con segno, della proiezione ortogonale del vettore v sul vettore u. Il segno è positivo se l'angolo convesso tra i due vettori è acuto, negativo se ottuso.
Nella figura animata seguente è possibile modificare col mouse i vettori geometrici u e v e la loro rappresentazione. Sulla retta orientata nera è stato rappresentato il valore (a parte il segno) del prodotto scalare.

u .u = u² = |u||u|cos(0) = |u|²

è un numero reale positivo o nullo che è nullo se e solo se il vettore u ha il modulo nullo, cioè se e solo se u = 0.
Dalla definizione segue immdiatamente che

u .v = v .u

(au) .v = a(u .v)

Dal fatto poi che la proiezione ortogonale di una somma di vettori è la somma delle due proiezioni ortogonali , segue questa sorta di proprietà distributiva

(u + v).w = u .w + v .w

Osserviamo che può accadere che il prodotto scalare di due vettori non nulli sia zero e questo difatti accade se e solo se cos(t) = 0 cioè se e solo se i due vettori sono ortogonali. Questa circostanza è molto utile per risolvere gli esercizi che proponiamo in fondo a questa pagina.

Anche tra i vettori numerici ad n componenti è possibile definire un prodotto scalare. Siano u = (u₁,u₂, ... ,u_n) e v = (v₁, v₂ , ... ,v_n) due dati vettori numerici a n componenti, il loro prodotto scalare è, per definizione, un numero reale che si calcola con la seguente formula:

u .v = u₁v₁ + u₂v₂ + ... + u_nv_n

In particolare abbiamo, come nel caso dei vettori geometrici

u .u = u₁² + u₂² + ... + u_n² > 0

e questo numero è nullo se e solo se tutte le u_i sono nulle cioè se e solo se u = 0.
Anche le proprietà (3), (4), (5) che abbiamo dimostrato per il prodotto scalare tra vettori geometrici continuano a valere in questo caso. Quello che cambia è che ora la validità di una data proprietà dipende solo da un calcolo algebrico. La proprietà distributiva, ad esempio segue dalle proprietà distributiva e commutativa che valgono nell'aritmetica ordinaria.
L'analogia coi vettori geometrici per i quali il prodotto scalare ha una precisa interpretazione geometrica, possiamo estendere anche per i vettori numerici alcune importanti caratteristiche. Possiamo intanto dare la seguente

Definizione di modulo di un vettore numerico
Dato un vettore numerico a n componenti u = (u₁,u₂, ... ,u_n) chiamiamo modulo di u il numero reale positivo, denotato con |u| e definito dalla formula

Notiamo che è possibile estrarre la radice quadrata dato che il radicando è sempre un numero positivo o nullo ed è nullo, come abbiamo visto, se e solo se u = 0

Questo numero, il modulo di un vettore numerico, che ora non possiamo più interpretare come la lunghezza di un segmento, possiamo tuttavia pensarlo come una qualche intensità del vettore numerico u, una qualche grandezza astratta (ma che possiamo calcolare) associata al vettore che misura quanto il vettore sia grande, quanto il vettore sia diverso dal vettore nullo.
Possiamo nello stesso modo dare una misura di quanto un vettore numerico sia inclinato rispetto a un'altro? Possimo definire un angolo tra due vettori numerici non nulli e dare quindi senso alla perpendicolarità tra vettori numerici?
Ciò può essere realizzato coerentemete in vitù di una importante disuguaglianza detta

Disuguaglianza di Schwartz
Dati due vettori numerici a n componenti u = (u₁,u₂, ... ,u_n), v = (v₁,v₂, ... ,v_n) risulta

cioè, srivendo esplicitamente i prodotti ed elevando al quadrato

Questa notevole disuguaglianza, di non difficile dimostrazione, permette di definire l'angolo tra due vettori a partire dal suo coseno utilizzando la formula (1). Dato infatti un numero reale -1 < a < 1 esiste un unico angolo convesso t (cioè 0 < t < p) tale che a = cos(t). Tale angolo è chiamato l'arco coseno di a. L'angolo tra due vettori numerici u e v, sarà dunque, ora per definizione, quel particolare angolo t il cui coseno verifica la relazione

In particolare, se il prodotto scalre tra due vettori numerici è positivo, i due vettori formano un angolo acuto, se il loro prodotto scalare è nullo i due vettori sono ortogonali, se infine, il prodotto scalare è negativo i due vettori formano un angolo ottuso.



Esercizi